Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist wie eine Maschine: Du gibst etwas hinein (den x-Wert) und bekommst etwas heraus (den y-Wert).
Beispiel: Die Funktion \(f(x) = 2x + 1\)
Wenn du \(x = 3\) eingibst, bekommst du \(f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7\) heraus.
💡 Wichtig: Bei einer Funktion gehört zu jedem x-Wert genau EIN y-Wert!
Darstellungsformen
| Darstellung | Beispiel |
|---|---|
| Funktionsgleichung | \(f(x) = 2x + 1\) |
| Wertetabelle | x: 0, 1, 2 → y: 1, 3, 5 |
| Graph | Kurve im Koordinatensystem |
Lineare Funktionen
k = Steigung, d = y-Achsenabschnitt
Übungen
Berechne \(f(2)\) für \(f(x) = 3x + 1\)
Welche Steigung hat \(f(x) = 4x - 2\)?
Wo schneidet \(f(x) = 2x - 6\) die x-Achse?
Alle Funktionen-Themen
Grundlagen
Koordinatensystem, Wertetabelle, Graph
Lineare Funktionen
Geraden, Steigung, y-Achsenabschnitt
Quadratische Funktionen
Parabeln, Scheitelpunkt, Nullstellen
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Monotonie, Symmetrie, Extremwerte
Weitere Funktionen
Exponential-, Potenz-, Wurzelfunktionen
Analysis
Ableitung, Kurvendiskussion
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Graphen und Symmetrie bei verschiedenen Exponenten
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Einfluss von Parametern auf den Graphen
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Die Wurzelfunktion als Potenzfunktion
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Wachstums- und Zerfallsprozesse modellieren
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Charakteristische Zeiten bei exponentiellem Verhalten
Parameter
Einfluss von Parametern auf den Graphen
Wachstum & Zerfall
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Grafisches Lösen von Exponentialgleichungen
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Grundlagen
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Logarithmische Skalen
Darstellung auf logarithmischen Skalen
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Definitionsbereich, Monotonie, Asymptoten
Logarithmische Gleichungen
Gleichungen mit Logarithmen lösen
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Graph und Eigenschaften der Tangensfunktion
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Gleichungen mit sin, cos und tan lösen
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Funktionstypen anhand von Graph oder Gleichung erkennen
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Den passenden Funktionstyp für ein Problem wählen
Lineares vs. exponentielles Wachstum
Unterschiede und Gemeinsamkeiten erkennen
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Differenzen- & Differentialquotient
Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten
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Produktregel, Quotientenregel und weitere Regeln
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Ableitung Exponential & Logarithmus
Ableitungen von e^x, a^x, ln(x) und log(x)
Ableitung trigonometrischer Funktionen
Ableitungen von sin, cos und tan
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Zweite, dritte und n-te Ableitung
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Konvexität, Konkavität und Wendepunkte
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Alle Schritte der Funktionsuntersuchung
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Das unbestimmte Integral und Aufleiten
Bestimmtes Integral
Integrale mit Grenzen und der Hauptsatz
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Definition, Grad und Koeffizienten von Polynomen
Nullstellen von Polynomen
Nullstellen finden und Faktorisierung
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Polynome dividieren und Linearfaktoren abspalten
Polynominterpolation
Polynom durch gegebene Punkte bestimmen
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Grundlagen
Definition, Definitionslücken und Polstellen
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Waagrechte, senkrechte und schiefe Asymptoten
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Funktionsuntersuchung rationaler Funktionen
Partialbruchzerlegung
Zerlegung in Teilbrüche für Integration
Integralanwendungen
Rotationskörper
Volumina durch Rotation: \(V = \pi \int [f(x)]^2\,dx\)
Mittelwert einer Funktion
Durchschnittswert über ein Intervall
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Exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum
Differentialgleichungen
Grundbegriffe, Trennung der Variablen, \(y' = k \cdot y\)