Definition und Grundwerte
Der Kosinus eines Winkels ist am Einheitskreis als die x-Koordinate des zugehörigen Punktes definiert:
Am Einheitskreis: \(P = (\cos(\alpha) \mid \sin(\alpha))\). Der Kosinus gibt die horizontale Projektion an.
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos(x)\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
Eigenschaften
Wertemenge: \(W = [-1, 1]\)
Periode: \(T = 2\pi\)
Amplitude: \(A = 1\)
Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade Funktion)
Nullstellen: \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) für \(n \in \mathbb{Z}\)
Maxima: \(x = 2n\pi\) mit Wert \(1\) (z. B. bei \(x = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots\))
Minima: \(x = (2n+1)\pi\) mit Wert \(-1\) (z. B. bei \(x = \pi, 3\pi, \ldots\))
Gerade Funktion: \(\cos(-x) = \cos(x)\). Das bedeutet: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Vergleich mit der Sinusfunktion
Sinus und Kosinus sind im Wesentlichen dieselbe Kurve, nur verschoben:
Der Kosinus-Graph ist der Sinus-Graph, um \(\frac{\pi}{2}\) nach links verschoben
| Eigenschaft | \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
|---|---|---|
| Wert bei \(x = 0\) | \(0\) | \(1\) |
| Erstes Maximum | bei \(x = \frac{\pi}{2}\) | bei \(x = 0\) |
| Symmetrie | ungerade: \(\sin(-x) = -\sin(x)\) | gerade: \(\cos(-x) = \cos(x)\) |
| Nullstellen | \(x = n\pi\) | \(x = \frac{\pi}{2} + n\pi\) |
| Ableitung | \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) |
Merksatz: Der Kosinus „startet oben" (bei \(x = 0\) ist \(\cos(0) = 1\)), der Sinus „startet bei null" (bei \(x = 0\) ist \(\sin(0) = 0\)).
Ableitung und weitere Beziehungen
\(\frac{d}{dx}\, \cos(kx) = -k \cdot \sin(kx)\) (Kettenregel)
\(\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) (Komplementärwinkel)
\(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1\)
Die allgemeine Kosinusfunktion
In Anwendungen steht selten der reine Kosinus. Vier Parameter steuern, wie die Kurve gestreckt und verschoben wird:
\(|a|\) = Amplitude, \(T = \frac{2\pi}{|b|}\) = Periode, \(-\frac{c}{b}\) = Phasenverschiebung, \(d\) = vertikale Verschiebung
- Amplitude: \(|a| = 3\), die Kurve schwingt also zwischen \(-3\) und \(3\) um die Mittellinie
- Periode: \(T = \frac{2\pi}{2} = \pi\), eine volle Schwingung dauert nur halb so lang wie beim reinen Kosinus
- Vertikale Verschiebung: \(d = 1\), die Mittellinie liegt bei \(y = 1\)
- Wertemenge: \(W = [1 - 3,\; 1 + 3] = [-2,\; 4]\)
⚠️ Häufiger Fehler: Die Phasenverschiebung ist \(-\frac{c}{b}\), nicht einfach \(-c\). Bei \(f(x) = \cos(2x + \pi)\) beträgt sie \(-\frac{\pi}{2}\), nicht \(-\pi\).
Übungen
Welchen Wert hat \(\cos(0)\)?
Welche Symmetrie hat \(\cos(x)\)?
Was ist die Ableitung von \(\cos(x)\)?
Wenn \(\sin(x) = 0{,}6\), welchen Wert kann \(\cos(x)\) haben? (Verwende \(\sin^2 + \cos^2 = 1\))