Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Eingabewert (x-Wert) genau einen Ausgabewert (y-Wert) zuordnet. Man schreibt: \(f(x) = y\) oder \(y = f(x)\).
Die Funktion \(f(x) = 2x\) ordnet jeder Zahl ihr Doppeltes zu:
\(f(1) = 2 \cdot 1 = 2\)
\(f(3) = 2 \cdot 3 = 6\)
\(f(5) = 2 \cdot 5 = 10\)
Wichtig: Bei einer Funktion darf jeder x-Wert nur zu einem einzigen y-Wert führen. Ein y-Wert darf aber von mehreren x-Werten kommen!
Die wichtigsten Begriffe
- Argument (unabhängige Variable): der Eingabewert \(x\).
- Funktionswert (abhängige Variable): der Ausgabewert \(y = f(x)\). Er hängt davon ab, welches \(x\) du einsetzt.
- Funktionsname: meist \(f\), \(g\) oder \(h\). \(f(3)\) liest man „f von 3".
Ordne jeder positiven Zahl die Zahlen zu, deren Quadrat sie ist. Zur 4 gehören dann \(2\) und \(-2\), denn \(2^2 = 4\) und \((-2)^2 = 4\). Ein x-Wert führt zu zwei y-Werten, also ist diese Zuordnung keine Funktion.
Umgekehrt ist \(f(x) = x^2\) sehr wohl eine Funktion: \(f(2) = 4\) und \(f(-2) = 4\). Hier kommt derselbe y-Wert von zwei x-Werten, und das ist erlaubt.
Darstellungsformen von Funktionen
Funktionen kann man auf verschiedene Arten darstellen:
| Darstellungsform | Beschreibung | Beispiel |
|---|---|---|
| Funktionsgleichung | Formel mit x und y | \(f(x) = 2x + 1\) |
| Wertetabelle | Tabelle mit x- und y-Werten | x: 1, 2, 3 → y: 3, 5, 7 |
| Graph | Zeichnung im Koordinatensystem | Gerade, Parabel, Kurve |
| Wortform | Beschreibung in Worten | "Verdopple und addiere 1" |
Der Graph einer Funktion
Der Graph einer Funktion \(f\) besteht aus allen Punkten \((x \mid f(x))\) im Koordinatensystem. Jeder Punkt des Graphen verbindet ein Argument mit seinem Funktionswert.
Zum Zeichnen legst du eine Wertetabelle an, trägst die Punkte ins Koordinatensystem ein und verbindest sie.
Setze die x-Koordinate ein und vergleiche das Ergebnis mit der y-Koordinate. Beispiel für \(f(x) = 2x + 1\):
\(P(3 \mid 7)\): \(f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7\). Das stimmt, P liegt auf dem Graphen.
\(Q(2 \mid 4)\): \(f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \neq 4\). Q liegt nicht auf dem Graphen.
Senkrechten-Test: Eine Kurve ist nur dann der Graph einer Funktion, wenn jede senkrechte Gerade sie höchstens einmal schneidet. Sonst gehörten zu einem x-Wert mehrere y-Werte.
Definitionsmenge und Wertemenge
Definitionsmenge (D): Alle x-Werte, die man in die Funktion einsetzen darf.
Wertemenge (W): Alle y-Werte, die als Ergebnis herauskommen können.
💡 Merke: Bei Brüchen darf der Nenner nicht 0 sein! Bei Wurzeln muss der Radikand ≥ 0 sein!
Funktionswert berechnen
Den Funktionswert an der Stelle x berechnet man, indem man x in die Funktionsgleichung einsetzt.
Übungen
Teste dein Wissen über die Grundlagen von Funktionen!
Gegeben ist \(f(x) = 3x + 2\). Was ist \(f(2)\)?
Welche Aussage über Funktionen ist richtig?
Was ist die Definitionsmenge von \(f(x) = \frac{1}{x-3}\)?
Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von \(f(x) = x^2\)?
Wie sieht der Graph von \(f(x) = 3\) aus?
Alle Themen zu Grundlagen
Vertiefe dein Wissen mit diesen Spezialthemen:
Definitionsmenge Wertemenge
Definitionsbereich und Wertebereich bestimmen
Funktionswert
Funktionswerte berechnen und interpretieren
Koordinatensystem
Aufbau und Nutzung des kartesischen Koordinatensystems
Koordinatensystem Punkte
Punkte ablesen und eintragen
Wertetabelle
Wertetabellen erstellen und ablesen