Grundidee der Rotation
Stell dir vor, du drehst den Graphen einer Funktion \(f(x)\) um die x-Achse. Dabei entsteht ein dreidimensionaler Körper. Jeder Querschnitt senkrecht zur x-Achse ist ein Kreis mit dem Radius \(r = |f(x)|\).
Anschaulich: Wenn du z. B. den Graphen von \(f(x) = \sqrt{x}\) im Intervall \([0, 4]\) um die x-Achse drehst, entsteht ein Körper, der wie ein Paraboloid (eine „Schüssel") aussieht.
Die Fläche eines solchen Kreisquerschnitts an der Stelle \(x\) beträgt \(A(x) = \pi \cdot [f(x)]^2\). Das Volumen ergibt sich durch Integration aller infinitesimalen Scheiben.
Volumenformel
Das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen von \(f(x)\) um die x-Achse im Intervall \([a, b]\) entsteht, berechnet sich mit:
\(f(x)\) ist die rotierende Funktion, \([a, b]\) das Integrationsintervall.
Tipp: Vergiss nicht, zuerst \([f(x)]^2\) zu berechnen (also die Funktion zu quadrieren), bevor du integrierst! Den Faktor \(\pi\) kannst du vor das Integral ziehen.
Beispielberechnungen
Die Funktion \(f(x) = x\) wird im Intervall \([0, 3]\) um die x-Achse rotiert.
\(V = \pi \int_0^3 x^2\,dx = \pi \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \pi \cdot \frac{27}{3} = 9\pi\)
Es entsteht ein Kegel mit Radius \(r = 3\) und Höhe \(h = 3\). Probe mit Kegelformel: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi\) ✓
Die Funktion \(f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}\) (oberer Halbkreis mit Radius \(r\)) wird im Intervall \([-r, r]\) rotiert.
\(V = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2)\,dx = \pi \left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r}\)
\(= \pi \left[\left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right)\right] = \pi \cdot \frac{4r^3}{3} = \frac{4}{3}\pi r^3\)
Das ist genau die bekannte Kugelvolumenformel! ✓
Die Funktion \(f(x) = \sqrt{x}\) wird im Intervall \([0, 4]\) um die x-Achse rotiert.
\(V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi\)
Hohlkörper (Rotation zweier Funktionen)
Wenn ein Bereich zwischen zwei Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) (mit \(f(x) \geq g(x) \geq 0\)) um die x-Achse rotiert wird, entsteht ein Hohlkörper. Das Volumen berechnet sich als Differenz:
\(f(x)\) ist die äußere, \(g(x)\) die innere Funktion.
Übungen
Die Funktion \(f(x) = 2\) wird im Intervall \([0, 5]\) um die x-Achse rotiert. Welches Volumen hat der entstehende Körper?
Was entsteht, wenn man \(f(x) = 3\) im Intervall \([1, 6]\) um die x-Achse rotiert?
Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von \(f(x) = x^2\) im Intervall \([0, 2]\) um die x-Achse entsteht.
Welche Formel beschreibt das Volumen eines Hohlkörpers bei Rotation des Bereichs zwischen \(f(x)\) und \(g(x)\)?
Die Funktion \(f(x) = e^x\) wird im Intervall \([0, 1]\) um die x-Achse rotiert. Berechne das Volumen.