Halbwertszeit und Verdoppelungszeit berechnen: Formel, Herleitung, Beispiele

Die Formel mit der Halbwertszeit

Exponentielle Abnahme mit Halbwertszeit \(T\)

\(N(t) = N_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}\)

\(N_0\) Anfangsmenge, \(t\) vergangene Zeit, \(T\) Halbwertszeit - \(t\) und \(T\) in derselben Einheit

Der Exponent \(\frac{t}{T}\) zählt, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. Nach \(t = 3T\) steht dort 3, und \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\) - ein Achtel der Anfangsmenge.

Vergangene Halbwertszeiten	Noch vorhanden	In Prozent
0	\(N_0\)	100 %
1	\(\frac{1}{2} N_0\)	50 %
2	\(\frac{1}{4} N_0\)	25 %
3	\(\frac{1}{8} N_0\)	12,5 %
4	\(\frac{1}{16} N_0\)	6,25 %
10	\(\frac{1}{1024} N_0\)	etwa 0,1 %

Die Halbwertszeit hängt nicht von der Anfangsmenge ab. Ob man mit 1 kg oder mit 1 t beginnt: Die Zeit bis zur Halbierung ist dieselbe. Das unterscheidet exponentielle Abnahme von linearer, bei der in jedem Schritt derselbe Betrag verschwindet.

Beispiele mit ganzen Halbwertszeiten

Beispiel 1: Jod-131, Halbwertszeit 8 Tage, Anfangsmenge 400 mg

Nach 8 Tagen (eine Halbwertszeit): \(400 \cdot \frac{1}{2} = 200\) mg

Nach 16 Tagen (zwei): \(400 \cdot \frac{1}{4} = 100\) mg

Nach 24 Tagen (drei): \(400 \cdot \frac{1}{8} = 50\) mg

Beispiel 2: Medikament, Halbwertszeit 6 Stunden, Dosis 500 mg - wie viel nach 18 Stunden?

\(\frac{t}{T} = \frac{18}{6} = 3\) Halbwertszeiten

\(N(18) = 500 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 500 \cdot \frac{1}{8} = 62{,}5\) mg

Nach fünf Halbwertszeiten - hier also nach 30 Stunden - sind noch \(\frac{1}{32}\) der Dosis übrig, rund 3 %. Für die Frage, wie lange ein Wirkstoff im Körper nachweisbar bleibt, ist deshalb nicht die Dosis entscheidend, sondern die Halbwertszeit.

Wenn die Zeit kein Vielfaches der Halbwertszeit ist

Dann steht im Exponenten eine Dezimalzahl, und der Taschenrechner übernimmt:

Beispiel 3: Cäsium-137, Halbwertszeit 30 Jahre - wie viel von 1.000 g bleibt nach 50 Jahren?

\(\frac{t}{T} = \frac{50}{30} = 1{,}\overline{6}\) Halbwertszeiten

\(N(50) = 1000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}\overline{6}} \approx 1000 \cdot 0{,}315 = 315\) g

Plausibilitätsprüfung: Nach 30 Jahren wären es 500 g, nach 60 Jahren 250 g. Für 50 Jahre muss der Wert dazwischen liegen, näher an 250 - passt.

Diese Prüfung lohnt sich bei jeder Aufgabe: Die beiden benachbarten ganzen Halbwertszeiten geben den Rahmen vor, in dem das Ergebnis liegen muss.

Dieselbe Abnahme in der e-Schreibweise

In der Oberstufe wird exponentielle Abnahme meist als \(N(t) = N_0 \cdot e^{\lambda t}\) mit einer negativen Zerfallskonstante \(\lambda\) geschrieben. Das ist dieselbe Funktion wie oben, nur mit anderer Basis. Die Halbwertszeit steckt dann in \(\lambda\):

Halbwertszeit aus der Zerfallskonstante

\(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{|\lambda|} \approx \dfrac{0{,}693}{|\lambda|}\)

Herleitung

Gesucht ist die Zeit, nach der die Hälfte übrig ist: \(N_0 \cdot e^{\lambda t_{1/2}} = \frac{N_0}{2}\)

Durch \(N_0\) dividieren - deshalb spielt die Anfangsmenge keine Rolle: \(e^{\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2}\)

Logarithmieren: \(\lambda \cdot t_{1/2} = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2\)

\(t_{1/2} = \frac{-\ln 2}{\lambda}\). Weil \(\lambda\) negativ ist, ist das Ergebnis positiv - kürzer geschrieben \(\frac{\ln 2}{|\lambda|}\).

Beispiel 4: C-14-Datierung

Das Kohlenstoff-Isotop C-14 hat eine Halbwertszeit von 5.730 Jahren. Die Zerfallskonstante ist damit \(\lambda = -\frac{\ln 2}{5730} \approx -0{,}000121\) pro Jahr, die Zerfallsfunktion \(N(t) = N_0 \cdot e^{-0{,}000121 \cdot t}\).

Misst man in einer Probe nur noch 25 % des ursprünglichen C-14, sind zwei Halbwertszeiten vergangen: Die Probe ist \(2 \cdot 5730 = 11.460\) Jahre alt. Bei 12,5 % wären es drei, also 17.190 Jahre.

Halbwertszeit aus zwei Messwerten bestimmen

In Aufgaben ist oft weder \(T\) noch \(\lambda\) gegeben, sondern zwei Messungen. Der Weg führt über den Quotienten der beiden Werte:

Beispiel 5: Zu Beginn 800 g, nach 10 Stunden noch 200 g

Verhältnis der Messwerte: \(\frac{200}{800} = \frac{1}{4}\). Das ist \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) - also sind in 10 Stunden genau zwei Halbwertszeiten vergangen, \(T = 5\) Stunden. Fertig, ohne Logarithmus.

Derselbe Weg allgemein, wenn das Verhältnis keine Zweierpotenz ist: \(\lambda = \frac{\ln(N(t)/N_0)}{t} = \frac{\ln 0{,}25}{10} = \frac{-1{,}386}{10} = -0{,}1386\) pro Stunde

\(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0{,}1386} = \frac{0{,}693}{0{,}1386} = 5\) Stunden. Probe: \(800 \cdot e^{-0{,}1386 \cdot 5} = 800 \cdot 0{,}5 = 400\) g nach 5 Stunden - die Hälfte.

Allgemein: Halbwertszeit aus Anfangswert und einem Messwert

\(T = \dfrac{t \cdot \ln 2}{\ln\left(N_0 / N(t)\right)}\)

Sind die beiden Messwerte nicht zum Zeitpunkt 0 und \(t\), sondern zu \(t_1\) und \(t_2\), ersetzt man \(t\) durch \(t_2 - t_1\) und \(N_0\) durch den ersten Messwert - die Anfangsmenge kürzt sich ohnehin heraus.

Verdoppelungszeit

Beim Wachstum heißt die entsprechende Kennzahl Verdoppelungszeit \(t_2\): die Zeit, nach der sich die Menge verdoppelt hat. Alle Formeln sehen gleich aus, nur mit 2 statt \(\frac{1}{2}\) und positivem \(\lambda\):

	Halbwertszeit	Verdoppelungszeit
Prozess	exponentielle Abnahme	exponentielles Wachstum
Mit \(T\)	\(N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}\)	\(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}\)
Aus \(\lambda\)	\(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\|\lambda\|}\), \(\lambda < 0\)	\(t_2 = \frac{\ln 2}{\lambda}\), \(\lambda > 0\)
Beispiel	radioaktiver Zerfall, Medikamentenabbau	Bakterienkultur, Kapital mit Zinseszins

Beispiel 6: Bakterienkultur mit \(\lambda = 0{,}231\) pro Stunde

\(t_2 = \frac{\ln 2}{0{,}231} = \frac{0{,}693}{0{,}231} = 3\) Stunden. Die Kultur verdoppelt sich alle drei Stunden - nach 9 Stunden ist sie auf das Achtfache gewachsen.

Für Kapital mit Zinssatz \(p\) rechnet man mit dem Faktor \(b = 1 + \frac{p}{100}\) und erhält \(t_2 = \frac{\ln 2}{\ln b}\). Bei 3 % Zinsen sind das \(\frac{0{,}693}{\ln 1{,}03} = \frac{0{,}693}{0{,}02956} \approx 23{,}4\) Jahre bis zur Verdoppelung.

Typische Fehler

„Nach zwei Halbwertszeiten ist alles weg": Nach zwei sind noch 25 % da, nach drei 12,5 %. Die Menge wird nie null, sie halbiert sich nur immer weiter.
Halbwertszeit als Exponent statt als Teiler: Bei \(T = 8\) Tagen lautet die Funktion \(N_0 \cdot 0{,}5^{t/8}\), nicht \(N_0 \cdot 0{,}5^{8t}\).
Verschiedene Einheiten: \(t\) in Stunden und \(T\) in Tagen ergibt einen falschen Exponenten. Vor dem Rechnen angleichen.
Vorzeichen von \(\lambda\): Bei Abnahme ist \(\lambda\) negativ. Wer \(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}\) mit negativem \(\lambda\) rechnet, bekommt eine negative Zeit.
Linear denken: „Nach 8 Tagen sind 200 mg weg, also nach 16 Tagen 400 mg" - falsch. Im zweiten Abschnitt verschwinden nur noch 100 mg, weil die Hälfte von 200 genommen wird.