Was sind binomische Formeln?

Binomische Formeln sind Rechenregeln für Terme, die aus zwei Gliedern bestehen (lateinisch: bi = zwei, nomen = Name). Sie helfen dir, Produkte von Summen oder Differenzen schnell zu berechnen, ohne jeden Term einzeln ausmultiplizieren zu müssen.

Merke: Ein Binom ist ein Term mit zwei Gliedern, zum Beispiel \((a + b)\) oder \((x - 3)\).

1. Binomische Formel

Die erste binomische Formel beschreibt das Quadrat einer Summe:

1. Binomische Formel
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

"Plus, Plus, Plus" - alle Vorzeichen sind positiv

Herleitung

Warum stimmt diese Formel? Wir können sie durch Ausmultiplizieren beweisen:

Herleitung durch Ausmultiplizieren
1
\((a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b)\)
2
\(= a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b\)
3
\(= a^2 + ab + ab + b^2\)
4
\(= a^2 + 2ab + b^2\) ✓

Beispiel mit Zahlen

Berechne \((x + 5)^2\)
1
Formel anwenden: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) mit \(a = x\) und \(b = 5\)
2
\((x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2\)
3
\(= x^2 + 10x + 25\)

2. Binomische Formel

Die zweite binomische Formel beschreibt das Quadrat einer Differenz:

2. Binomische Formel
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

"Plus, Minus, Plus" - das mittlere Glied ist negativ

Berechne \((3x - 4)^2\)
1
Formel anwenden mit \(a = 3x\) und \(b = 4\)
2
\((3x - 4)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2\)
3
\(= 9x^2 - 24x + 16\)

3. Binomische Formel

Die dritte binomische Formel beschreibt das Produkt aus Summe und Differenz:

3. Binomische Formel
\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)

"Summe mal Differenz = Differenz der Quadrate"

💡 Tipp: Die dritte Formel ist besonders praktisch zum Kopfrechnen! Zum Beispiel: \(23 \cdot 17 = (20 + 3)(20 - 3) = 400 - 9 = 391\)

Berechne \((2x + 7)(2x - 7)\)
1
Formel anwenden mit \(a = 2x\) und \(b = 7\)
2
\((2x + 7)(2x - 7) = (2x)^2 - 7^2\)
3
\(= 4x^2 - 49\)

Alle drei Formeln im Überblick

Formel Regel Merkspruch
1. Binomische Formel \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) Plus, Plus, Plus
2. Binomische Formel \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) Plus, Minus, Plus
3. Binomische Formel \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) Differenz der Quadrate

Häufige Fehler vermeiden

⚠️ Achtung: Ein sehr häufiger Fehler ist \((a + b)^2 = a^2 + b^2\). Das ist falsch! Das mittlere Glied \(2ab\) darf nicht vergessen werden.

Richtig ist:

  • \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ✓
  • \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\) ✗

Wofür braucht man binomische Formeln?

Die binomischen Formeln werden in vielen Bereichen der Mathematik verwendet:

  • Terme vereinfachen: Klammern schnell auflösen
  • Faktorisieren: Terme in Produkte zerlegen
  • Quadratische Gleichungen: Lösungsweg mit quadratischer Ergänzung
  • Kopfrechnen: Schnelle Berechnungen wie \(99^2 = (100-1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801\)

Übungen

Teste jetzt dein Wissen! Löse die folgenden Aufgaben zu den binomischen Formeln.

Aufgabe 1 Leicht

Berechne mit der 1. binomischen Formel:

\((x + 3)^2 = \)

Aufgabe 2 Leicht

Berechne mit der 2. binomischen Formel:

\((a - 4)^2 = \)

Aufgabe 3 Mittel

Berechne mit der 3. binomischen Formel:

\((x + 5)(x - 5) = \)

Aufgabe 4 Mittel

Berechne:

\((2x + 3)^2 = \)

Aufgabe 5 Schwer

Welche binomische Formel ergibt \(9a^2 - 30a + 25\)?

Aufgabe 6 Schwer

Berechne mit der 3. binomischen Formel:

\(47 \cdot 53 = \)

💡 Tipp: Schreibe als \((50 - 3)(50 + 3)\)

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