Gerade Exponenten: \(x^2, x^4, x^6, \ldots\)
Potenzfunktionen mit geradem Exponenten haben folgende Eigenschaften:
Eigenschaften (gerade Exponenten):
- Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse, denn \((-x)^n = x^n\) für gerade \(n\)
- Wertemenge: \(W = [0, +\infty)\) -- Funktionswerte sind immer \(\geq 0\)
- Minimum: Bei \(x = 0\) mit \(f(0) = 0\)
- Form: U-förmig (wie eine Parabel, aber für höhere \(n\) flacher nahe 0 und steiler für \(|x| > 1\))
Für \(n = 2, 4, 6, \ldots\) gilt: \(f(-x) = f(x)\)
| \(x\) | \(x^2\) | \(x^4\) |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(4\) | \(16\) |
| \(-0{,}5\) | \(0{,}25\) | \(0{,}0625\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(0{,}5\) | \(0{,}25\) | \(0{,}0625\) |
| \(2\) | \(4\) | \(16\) |
Nahe dem Ursprung (\(|x| < 1\)) ist \(x^4\) flacher als \(x^2\). Weiter weg (\(|x| > 1\)) ist \(x^4\) steiler.
Ungerade Exponenten: \(x^3, x^5, x^7, \ldots\)
Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten haben völlig andere Eigenschaften:
Eigenschaften (ungerade Exponenten):
- Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Ursprung, denn \((-x)^n = -x^n\) für ungerade \(n\)
- Wertemenge: \(W = \mathbb{R}\) -- alle reellen Werte werden angenommen
- Kein Minimum/Maximum: Die Funktion geht von \(-\infty\) nach \(+\infty\)
- Form: S-förmig, streng monoton steigend
Für \(n = 3, 5, 7, \ldots\) gilt: \(f(-x) = -f(x)\)
| \(x\) | \(x^3\) | \(x^5\) |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(-8\) | \(-32\) |
| \(-1\) | \(-1\) | \(-1\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(8\) | \(32\) |
Der Graph von \(x^5\) ist nahe 0 flacher und für \(|x| > 1\) steiler als \(x^3\).
Vergleich: Gerade vs. ungerade
| Eigenschaft | Gerader Exponent (\(x^2, x^4, \ldots\)) | Ungerader Exponent (\(x^3, x^5, \ldots\)) |
|---|---|---|
| Symmetrie | Achsensymmetrisch (y-Achse) | Punktsymmetrisch (Ursprung) |
| Form | U-Form | S-Form |
| Wertemenge | \([0, +\infty)\) | \(\mathbb{R}\) |
| Vorzeichen | Immer \(\geq 0\) | Positiv für \(x > 0\), negativ für \(x < 0\) |
| \(f(-x)\) | \(= f(x)\) | \(= -f(x)\) |
| Monotonie | Fallend für \(x < 0\), steigend für \(x > 0\) | Streng monoton steigend |
Merkregel: Gerade Exponenten → gerade Funktion (achsensymmetrisch). Ungerade Exponenten → ungerade Funktion (punktsymmetrisch). Das Wort "gerade/ungerade" bezieht sich hier auf die Symmetrieeigenschaft!
Verhalten bei höheren Exponenten
Je höher der Exponent, desto ausgeprägter werden die Eigenschaften:
Für \(|x| < 1\): Höhere Exponenten machen den Graphen flacher (näher an der x-Achse). z.B.: \(0{,}5^4 = 0{,}0625\) ist viel kleiner als \(0{,}5^2 = 0{,}25\).
Für \(|x| > 1\): Höhere Exponenten machen den Graphen steiler (wächst schneller). z.B.: \(2^4 = 16\) ist viel größer als \(2^2 = 4\).
Bei \(x = \pm 1\): Alle Potenzfunktionen \(x^n\) haben den Wert \(1\) (bzw. \(\pm 1\)).
Übungen
Welche Symmetrie hat der Graph von \(f(x) = x^6\)?
Welchen Wert hat \((-3)^3\)?
Welche Aussage stimmt für \(x = 0{,}5\)?
Kann eine Potenzfunktion \(f(x) = x^n\) (mit ganzzahligem \(n \geq 2\)) negative Funktionswerte haben?