Grundbegriffe
Bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung (DGL) sucht man eine Funktion \(y(x)\), die eine Gleichung der Form
Gesucht ist eine Funktion \(y(x)\), deren Ableitung \(y'\) die Gleichung erfüllt.
Wichtig: Bei einer „normalen" Gleichung sucht man eine Zahl (z. B. \(x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\)). Bei einer DGL sucht man eine Funktion!
Die Ordnung einer DGL ergibt sich aus der höchsten vorkommenden Ableitung. In der AHS behandeln wir vor allem DGL 1. Ordnung (es kommt nur \(y'\) vor).
\(y' = 2x\) ist eine DGL 1. Ordnung. Die Lösung ist \(y = x^2 + C\), denn \(y' = 2x\). ✓
Das ist nichts anderes als Integrieren! Die allgemeine Lösung enthält eine Konstante \(C\).
Trennung der Variablen
Die Trennung der Variablen (auch: Separation) ist die wichtigste Lösungsmethode für DGL in der AHS. Sie funktioniert, wenn man die DGL in die Form bringen kann:
Die rechte Seite ist ein Produkt aus einer Funktion von \(x\) und einer Funktion von \(y\).
Lösungsweg:
- Schreibe \(y' = \frac{dy}{dx}\)
- Trenne die Variablen: \(\frac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx\)
- Integriere beide Seiten: \(\int \frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx\)
- Löse nach \(y\) auf (wenn möglich)
Löse \(y' = 3y\).
Schritt 1: \(\frac{dy}{dx} = 3y\)
Schritt 2: \(\frac{dy}{y} = 3\,dx\) (für \(y \neq 0\))
Schritt 3: \(\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,dx\)
\(\ln|y| = 3x + C_1\)
Schritt 4: \(|y| = e^{3x + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{3x}\)
Lösung: \(y = C \cdot e^{3x}\) mit \(C \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
Die DGL \(y' = k \cdot y\)
Die wichtigste DGL der AHS-Mathematik ist \(y' = k \cdot y\). Sie beschreibt exponentielles Wachstum (\(k > 0\)) bzw. exponentiellen Zerfall (\(k < 0\)).
\(C\) wird durch die Anfangsbedingung \(y(x_0) = y_0\) bestimmt.
Merke: Die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) ist die einzige Funktion (bis auf einen konstanten Faktor), die proportional zu sich selbst ist – also \(y' = k \cdot y\) erfüllt.
Löse \(y' = -0{,}5y\) mit \(y(0) = 100\).
Allgemeine Lösung: \(y(x) = C \cdot e^{-0{,}5x}\)
Anfangsbedingung: \(y(0) = C \cdot e^0 = C = 100\)
Lösung: \(y(x) = 100 \cdot e^{-0{,}5x}\)
Dies beschreibt einen exponentiellen Zerfall mit Anfangswert 100.
Anfangswertprobleme
Die allgemeine Lösung einer DGL 1. Ordnung enthält eine Konstante \(C\). Durch eine Anfangsbedingung \(y(x_0) = y_0\) wird \(C\) eindeutig bestimmt – man erhält die partikuläre Lösung.
Löse \(y' = 2xy\) mit \(y(0) = 3\).
Trennung: \(\frac{dy}{y} = 2x\,dx\)
Integration: \(\ln|y| = x^2 + C_1\)
Allgemeine Lösung: \(y = C \cdot e^{x^2}\)
Anfangsbedingung: \(y(0) = C \cdot e^0 = C = 3\)
Partikuläre Lösung: \(y = 3 \cdot e^{x^2}\)
Übungen
Was ist die allgemeine Lösung der DGL \(y' = 5y\)?
Welche Ordnung hat die DGL \(y'' + 3y' - 2y = 0\)?
Löse die DGL \(y' = -2y\) mit \(y(0) = 50\).
Bei der Trennung der Variablen wird \(y' = g(x) \cdot h(y)\) umgeformt zu:
Löse die DGL \(y' = 2xy\) mit \(y(0) = 1\). Was ist \(y(2)\)?