Stammfunktion: Definition, Regeln, Beispiele und Anfangswertproblem

Definition

Stammfunktion

\(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\), wenn \(F'(x) = f(x)\) für alle \(x\) gilt.

Die Definition ist zugleich die Probe: Wer eine Stammfunktion gefunden hat, leitet sie ab und muss die Ausgangsfunktion erhalten. Das ist immer möglich und dauert nur eine Zeile - es gibt keinen Grund, ein Ergebnis unkontrolliert stehen zu lassen.

Beispiel: Stammfunktionen von \(f(x) = 3x^2\)

\(F(x) = x^3\) ist eine Stammfunktion, denn \((x^3)' = 3x^2\).

\(F(x) = x^3 + 7\) ebenfalls, denn \((x^3 + 7)' = 3x^2 + 0\).

Alle Stammfunktionen zusammen: \(F(x) = x^3 + C\) mit einer beliebigen Zahl \(C\).

Die Menge aller Stammfunktionen heißt unbestimmtes Integral und wird so geschrieben:

Unbestimmtes Integral

\(\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C\)

\(C \in \mathbb{R}\) heißt Integrationskonstante; \(dx\) sagt, dass nach \(x\) integriert wird

Grafisch sind alle Stammfunktionen derselbe Graph, nur nach oben oder unten verschoben. Verschieben ändert die Steigung nirgends - genau deshalb haben sie alle dieselbe Ableitung.

Die Potenzregel rückwärts

Beim Ableiten wandert der Exponent nach vorne und wird um 1 kleiner. Beim Integrieren läuft das rückwärts: Exponent um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten dividieren.

Potenzregel für Stammfunktionen

\(\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)\)

\(f(x)\)	als Potenz	Stammfunktion \(F(x)\)	Probe \(F'(x)\)
\(x^2\)	\(x^2\)	\(\dfrac{x^3}{3} + C\)	\(\dfrac{3x^2}{3} = x^2\)
\(x\)	\(x^1\)	\(\dfrac{x^2}{2} + C\)	\(x\)
\(5\)	\(5 \cdot x^0\)	\(5x + C\)	\(5\)
\(\dfrac{1}{x^2}\)	\(x^{-2}\)	\(\dfrac{x^{-1}}{-1} + C = -\dfrac{1}{x} + C\)	\(x^{-2}\)
\(\sqrt{x}\)	\(x^{1/2}\)	\(\dfrac{x^{3/2}}{3/2} + C = \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3} + C\)	\(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} x^{1/2} = \sqrt{x}\)

Die Ausnahme \(n = -1\): Für \(\frac{1}{x} = x^{-1}\) würde die Regel durch \(n + 1 = 0\) dividieren. Die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) ist keine Potenz, sondern der Logarithmus: \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\). Probe: \((\ln x)' = \frac{1}{x}\).

Faktor- und Summenregel

Wie beim Ableiten darf man Summand für Summand vorgehen und konstante Faktoren stehen lassen:

Faktorregel und Summenregel

\(\displaystyle\int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx \qquad \int \left(f(x) \pm g(x)\right)dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)

Beispiel: \(\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx\)

Summand für Summand: \(\int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3\), \(\int 4x\,dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2\), \(\int 1\,dx = x\)

Zusammensetzen, ein einziges \(C\) für alles: \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C\)

Probe: \(F'(x) = 3x^2 - 4x + 1\). Stimmt.

Die Grundkompetenz AN 4.2 verlangt für die Matura genau diese Regeln: Potenzregel, Summenregel, \(\int k \cdot f(x)\,dx\) und \(\int f(k \cdot x)\,dx\). Bei Letzterer kommt der Kehrwert von \(k\) davor - \(\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C\), weil beim Ableiten die innere Ableitung 3 den Faktor \(\frac{1}{3}\) wieder aufhebt.

\(f(x)\)	\(F(x)\)	Probe
\(e^x\)	\(e^x + C\)	\((e^x)' = e^x\)
\(e^{kx}\)	\(\dfrac{1}{k}e^{kx} + C\)	\(\dfrac{1}{k} \cdot k \cdot e^{kx} = e^{kx}\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + C\)	\((-\cos x)' = \sin x\)
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)	\((\sin x)' = \cos x\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(\ln\|x\| + C\)	\((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\)

Bei \(\sin\) und \(\cos\) sitzt das Minus beim Integrieren an der anderen Stelle als beim Ableiten: \((\cos x)' = -\sin x\), also ist \(-\cos x\) die Stammfunktion von \(\sin x\). Die Probe klärt es jedes Mal. Weitere Regeln und Beispiele: Integrationsregeln.

Eine bestimmte Stammfunktion: das Anfangswertproblem

Aus den unendlich vielen Stammfunktionen wird eine einzige, sobald ein Punkt vorgegeben ist. Diese Bedingung legt \(C\) fest:

Beispiel: Stammfunktion von \(f(x) = 2x\) mit \(F(1) = 5\)

Allgemeine Stammfunktion: \(F(x) = x^2 + C\)

Bedingung einsetzen: \(F(1) = 1 + C = 5\), also \(C = 4\)

Ergebnis: \(F(x) = x^2 + 4\). Von allen Parabeln \(x^2 + C\) ist das die einzige, die durch den Punkt \((1 \mid 5)\) geht.

In Anwendungen ist der Anfangswert meist eine physikalische Angabe: Ist \(v(t)\) die Geschwindigkeit, dann ist der Weg \(s(t)\) eine Stammfunktion von \(v\), und \(s(0)\) - die Startposition - legt \(C\) fest.

Ableiten und Integrieren als Umkehrung

	Ableiten (Differenzieren)	Integrieren (Aufleiten)
Richtung	\(F \to F' = f\)	\(f \to F\)
Potenzen	Exponent nach vorne, dann um 1 kleiner	Exponent um 1 größer, dann dadurch dividieren
Ergebnis	eindeutig	nur bis auf \(+ C\) eindeutig
Bedeutung	Steigung, Änderungsrate	Fläche, aufsummierte Änderung

Der Grund, warum man Stammfunktionen überhaupt braucht: Die Fläche unter dem Graphen von \(f\) zwischen \(a\) und \(b\) ist \(F(b) - F(a)\) - der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Beim Einsetzen der Grenzen fällt \(C\) weg, deshalb genügt dort irgendeine Stammfunktion. Wie das funktioniert: bestimmtes Integral. Die Grundkompetenz AN 3.1 nennt Ableitungsfunktion und Stammfunktion in einem Atemzug - als zwei Richtungen derselben Beziehung.

Typische Fehler

\(+ C\) vergessen: \(\int 2x\,dx = x^2\) ist unvollständig. Ohne \(C\) fehlen alle anderen Lösungen - und beim Anfangswertproblem gibt es dann nichts zu bestimmen.
Durch den alten statt den neuen Exponenten dividieren: \(\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4}\), nicht \(\frac{x^4}{3}\). Die Probe zeigt es sofort: \((\frac{x^4}{3})' = \frac{4}{3}x^3\).
\(\frac{1}{x}\) mit der Potenzregel: Führt auf \(\frac{x^0}{0}\). Die Stammfunktion ist \(\ln|x|\).
Konstante integrieren wie Null: \(\int 5\,dx = 5x + C\), nicht \(0\) und nicht \(5\). Beim Ableiten wird 5 zu 0, beim Integrieren wird 5 zu \(5x\).
Vorzeichen bei \(\sin\) und \(\cos\): \(\int \sin x\,dx = -\cos x + C\). Wer \(+\cos x\) schreibt, hat abgeleitet statt integriert.