Definition als Umkehrfunktion
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion:
\(b > 0, b \neq 1\) (Basis), \(x > 0\) (Argument)
Bedeutung: \(\log_b(x)\) gibt an, mit welchem Exponenten man die Basis \(b\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten.
Beispiel: \(\log_2(8) = 3\), weil \(2^3 = 8\).
Zusammenhang mit der Exponentialfunktion: Der Graph von \(f(x) = \log_b(x)\) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \(g(x) = b^x\) an der Winkelhalbierenden \(y = x\). Die Rollen von \(x\) und \(y\) werden vertauscht.
Graph und Verlauf
Der Graph von \(f(x) = \log_b(x)\) hat typische Merkmale:
Für \(b > 1\) (z. B. \(\log_2(x)\), \(\ln(x)\), \(\lg(x)\)):
- Der Graph steigt von links nach rechts (streng monoton steigend)
- Er geht durch den Punkt \((1 \mid 0)\) und \((b \mid 1)\)
- Für \(x \to 0^+\): \(f(x) \to -\infty\) (senkrechte Asymptote)
- Für \(x \to +\infty\): \(f(x) \to +\infty\) (aber immer langsamer)
| \(x\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(16\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\log_2(x)\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
Beachte: Der Abstand zwischen den x-Werten wird immer größer, während die y-Werte gleichmäßig zunehmen.
| Eigenschaft | Exponentialfunktion \(b^x\) | Logarithmusfunktion \(\log_b(x)\) |
|---|---|---|
| Definitionsmenge | \(\mathbb{R}\) | \((0, +\infty)\) |
| Wertemenge | \((0, +\infty)\) | \(\mathbb{R}\) |
| Geht durch | \((0 \mid 1)\) | \((1 \mid 0)\) |
| Asymptote | \(y = 0\) (waagrecht) | \(x = 0\) (senkrecht) |
Logarithmengesetze
Die Logarithmengesetze folgen direkt aus den Potenzgesetzen:
\(\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\) (Quotientenregel)
\(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\) (Potenzregel)
\(\log_b(b^x) = x\) und \(b^{\log_b(x)} = x\) (Umkehrung)
\(\log_2(4 \cdot 8) = \log_2(4) + \log_2(8) = 2 + 3 = 5\) ✓ (denn \(2^5 = 32 = 4 \cdot 8\))
\(\log_3(81) = \log_3(3^4) = 4 \cdot \log_3(3) = 4 \cdot 1 = 4\)
\(\lg\left(\frac{1000}{10}\right) = \lg(1000) - \lg(10) = 3 - 1 = 2\)
Basiswechsel
Man kann jeden Logarithmus in einen anderen umrechnen:
So kann man jeden Logarithmus mit dem Taschenrechner berechnen (der nur \(\ln\) und \(\lg\) hat)
\(\log_5(20) = \frac{\ln(20)}{\ln(5)} = \frac{2{,}996}{1{,}609} \approx 1{,}861\)
Probe: \(5^{1{,}861} \approx 20\) ✓
Übungen
Welchen Wert hat \(\log_5(25)\)?
Welche senkrechte Asymptote hat \(f(x) = \log_3(x)\)?
Vereinfache \(\log_2(4) + \log_2(8)\).
Welchen Wert hat \(\lg(0{,}01)\)?
Berechne \(\log_4(64)\) mithilfe des Basiswechsels.