Grundidee
Bei der Partialbruchzerlegung schreiben wir einen komplizierten Bruch als Summe einfacherer Brüche. Das ist das Gegenteil vom "Auf einen Nenner bringen".
Wir wissen: \( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2 - 1} \)
Umgekehrt: \( \frac{2x}{x^2 - 1} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} \)
Die rechte Seite ist die Partialbruchzerlegung der linken Seite.
Voraussetzungen
Damit die Partialbruchzerlegung funktioniert, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
Voraussetzungen:
- Der Zählergrad muss kleiner als der Nennergrad sein (echt gebrochener Bruch). Andernfalls muss man zuerst eine Polynomdivision durchführen.
- Der Nenner muss faktorisiert sein (in Linearfaktoren und/oder irreduzible quadratische Faktoren zerlegt).
Wenn der Zählergrad >= Nennergrad: Zuerst Polynomdivision durchführen, dann den Restbruch in Partialbrüche zerlegen.
Ansatz für den Partialbruch
Der Ansatz hängt von der Art der Nennerfaktoren ab:
\( \frac{f(x)}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} \)
\( \frac{f(x)}{(x - a)^2(x - b)} = \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \frac{B}{x - b} \)
\( \frac{f(x)}{(x - a)(x^2 + px + q)} = \frac{A}{x - a} + \frac{Bx + C}{x^2 + px + q} \)
(wenn \(x^2 + px + q\) keine reellen Nullstellen hat)
Koeffizienten bestimmen
Die unbekannten Koeffizienten \(A, B, C, \ldots\) bestimmt man durch Koeffizientenvergleich oder durch Einsetzen spezieller Werte.
Zerlege: \( \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} \)
Ansatz: \( \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} \)
Multipliziere mit \((x-1)(x+2)\):
\( 3x + 5 = A(x + 2) + B(x - 1) \)
Methode 1: Spezielle Werte einsetzen
\(x = 1: \quad 8 = 3A \Rightarrow A = \frac{8}{3}\)
\(x = -2: \quad -1 = -3B \Rightarrow B = \frac{1}{3}\)
Ergebnis: \( \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{8}{3(x - 1)} + \frac{1}{3(x + 2)} \)
Zerlege: \( \frac{x + 3}{(x - 1)^2} \)
Ansatz: \( \frac{x + 3}{(x - 1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} \)
Multipliziere mit \((x-1)^2\): \( x + 3 = A(x - 1) + B \)
\(x = 1: \quad 4 = B\)
Koeffizientenvergleich für \(x^1\): \(1 = A\)
Ergebnis: \( \frac{x + 3}{(x - 1)^2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{4}{(x - 1)^2} \)
Zusammenfassung
1. Prüfe: Zählergrad \(<\) Nennergrad? (sonst erst Polynomdivision)
2. Faktorisiere den Nenner vollständig
3. Stelle den Ansatz auf (je nach Faktortyp)
4. Bestimme die Koeffizienten (Einsetzen oder Vergleich)
5. Überprüfe das Ergebnis durch Zusammenfassen
Übungen
Welche Voraussetzung muss für die Partialbruchzerlegung erfüllt sein?
Wie lautet der richtige Ansatz für \( \frac{1}{(x-2)(x+3)} \)?
Bestimme \(A\) und \(B\): \( \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} \)
Wie lautet der Ansatz für \( \frac{x^2 + 1}{(x-1)^2(x+2)} \)?