Definition einer Polynomfunktion
Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) vom Grad \(n\) hat die allgemeine Form:
\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \)
mit \( a_n \neq 0 \) und \( n \in \mathbb{N}_0 \)
Wichtige Begriffe:
- Grad des Polynoms: der höchste vorkommende Exponent \(n\)
- Leitkoeffizient: \(a_n\) (Koeffizient des Terms mit dem höchsten Exponenten)
- Leitterm: \(a_n x^n\) (bestimmt das Verhalten für große \(|x|\))
- Absolutglied: \(a_0\) (der konstante Term, Schnittpunkt mit der y-Achse)
- Koeffizienten: die Zahlen \(a_0, a_1, \ldots, a_n\)
Beispiele für Polynomfunktionen
Viele bekannte Funktionstypen sind Spezialfälle von Polynomfunktionen:
Grad 0: \( f(x) = 5 \) (konstante Funktion)
Grad 1: \( f(x) = 2x - 3 \) (lineare Funktion)
Grad 2: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) (quadratische Funktion)
Grad 3: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) (kubische Funktion)
Grad 4: \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) (quartische Funktion)
Achtung: Funktionen wie \( f(x) = \frac{1}{x} \), \( f(x) = \sqrt{x} \) oder \( f(x) = e^x \) sind keine Polynomfunktionen, da sie negative oder gebrochene Exponenten bzw. die Variable im Exponenten enthalten.
Grad und Koeffizienten bestimmen
Um den Grad und die Koeffizienten zu bestimmen, bringt man die Funktion in die Standardform (nach absteigenden Potenzen geordnet).
Gegeben: \( f(x) = 3x - 7x^3 + 2x^5 + 1 \)
Standardform: \( f(x) = 2x^5 - 7x^3 + 3x + 1 \)
Grad: \( n = 5 \)
Leitkoeffizient: \( a_5 = 2 \)
Absolutglied: \( a_0 = 1 \)
Fehlende Terme (\(x^4, x^2\)) haben den Koeffizienten 0.
Endverhalten
Das Endverhalten einer Polynomfunktion wird durch den Leitterm \(a_n x^n\) bestimmt. Für \(x \to \pm\infty\) dominiert dieser Term alle anderen.
Für \( |x| \to \infty \) gilt: \( f(x) \approx a_n x^n \)
| Grad \(n\) | Leitkoeff. \(a_n > 0\) | Leitkoeff. \(a_n < 0\) |
|---|---|---|
| gerade | \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to \pm\infty\) | \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm\infty\) |
| ungerade | \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to +\infty\), \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) | \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to +\infty\), \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to -\infty\) |
Graph von Polynomfunktionen
Der Graph einer Polynomfunktion ist eine glatte, zusammenhängende Kurve ohne Sprünge oder Knicke. Wichtige Merkmale:
- Ein Polynom vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen
- Ein Polynom vom Grad \(n\) hat höchstens \(n - 1\) lokale Extremstellen
- Ein Polynom vom Grad \(n\) hat höchstens \(n - 2\) Wendepunkte
- Der y-Achsenabschnitt ist \(f(0) = a_0\)
Symmetrie:
- Enthält \(f(x)\) nur gerade Potenzen von \(x\), so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse: \(f(-x) = f(x)\)
- Enthält \(f(x)\) nur ungerade Potenzen von \(x\), so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung: \(f(-x) = -f(x)\)
Zusammenfassung
\( f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \) mit \( a_n \neq 0 \)
Definitionsbereich: \( \mathbb{D} = \mathbb{R} \)
Höchstens \(n\) Nullstellen, \(n-1\) Extrema, \(n-2\) Wendepunkte
Endverhalten bestimmt durch Leitterm \(a_n x^n\)
Übungen
Welchen Grad hat \( f(x) = 4x^3 - x^5 + 2x \)?
Was ist der Leitkoeffizient von \( f(x) = -3x^4 + 7x^2 - 1 \)?
Was ist das Endverhalten von \( f(x) = 2x^4 - x^2 + 3 \)?
Wie viele Nullstellen kann \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) höchstens haben?
Welche Funktion ist keine Polynomfunktion?