Definition
\(a > 0\): Anfangswert, \(b > 0\) und \(b \neq 1\): Basis oder Wachstumsfaktor
Die zwei Bedingungen an die Basis haben einen konkreten Grund. Wäre \(b\) negativ, gäbe es für viele \(x\) keinen Wert: \((-2)^{0{,}5}\) wäre \(\sqrt{-2}\), und das existiert in \(\mathbb{R}\) nicht. Wäre \(b = 1\), stünde da \(f(x) = a \cdot 1^x = a\) - eine konstante Funktion, keine exponentielle.
\(a\) ist der Wert zu Beginn, denn \(f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a\). Der Graph schneidet die y-Achse also immer im Punkt \((0 \mid a)\).
- \(f(x) = 2^x\): Anfangswert 1, Basis 2 - jeder Schritt verdoppelt
- \(g(x) = 3 \cdot 1{,}5^x\): Anfangswert 3, Basis 1,5 - jeder Schritt macht das Anderthalbfache
- \(h(x) = 100 \cdot 0{,}8^x\): Anfangswert 100, Basis 0,8 - jeder Schritt lässt 80 % übrig
Exponentialfunktion, Potenzfunktion, lineare Funktion
Die drei werden oft verwechselt, weil sie ähnlich aussehen. Der Unterschied ist, wo das \(x\) steht:
| Typ | Beispiel | \(x\) steht | Von Schritt zu Schritt |
|---|---|---|---|
| Lineare Funktion | \(f(x) = 2x\) | als Faktor | immer \(+2\) |
| Potenzfunktion | \(f(x) = x^2\) | in der Basis | \(+1, +3, +5, \ldots\) |
| Exponentialfunktion | \(f(x) = 2^x\) | im Exponenten | immer \(\cdot 2\) |
Die letzte Spalte ist der Kern. Linear heißt: In gleichen Abständen kommt immer derselbe Betrag dazu. Exponentiell heißt: In gleichen Abständen wird immer mit demselben Faktor multipliziert. Als Formel: \(f(x + 1) = b \cdot f(x)\). Genau diese Eigenschaft nennt der Grundkompetenzkatalog für die Matura (FA 5.4).
Wachstum oder Zerfall - die Basis entscheidet
| Basis | Verhalten | Beispiel |
|---|---|---|
| \(b > 1\) | exponentielles Wachstum, die Funktion steigt | \(f(x) = 2^x\), Verdopplung pro Schritt |
| \(0 < b < 1\) | exponentieller Zerfall, die Funktion fällt | \(f(x) = 0{,}5^x\), Halbierung pro Schritt |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2^x\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 | 4 | 8 |
| \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) | 8 | 4 | 2 | 1 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{8}\) |
Die zweite Zeile ist die erste rückwärts gelesen: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}\). Die beiden Graphen sind Spiegelbilder an der y-Achse.
Nach links, also für negative \(x\), werden die Werte von \(2^x\) immer kleiner - \(\frac{1}{8}\), \(\frac{1}{16}\), \(\frac{1}{32}\) - aber nie null und nie negativ. Der Graph schmiegt sich an die x-Achse an, ohne sie zu erreichen. Diese Linie heißt Asymptote.
Eigenschaften des Graphen
| Eigenschaft | \(b > 1\) (Wachstum) | \(0 < b < 1\) (Zerfall) |
|---|---|---|
| y-Achsenabschnitt | \((0 \mid a)\) | \((0 \mid a)\) |
| Monotonie | streng monoton steigend | streng monoton fallend |
| Asymptote | x-Achse, für \(x \to -\infty\) | x-Achse, für \(x \to +\infty\) |
| Nullstellen | keine | keine |
| Definitionsmenge | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| Wertemenge | \(\mathbb{R}^+\), alle positiven Zahlen | \(\mathbb{R}^+\), alle positiven Zahlen |
Keine Nullstelle - das ist keine Rechenlücke, sondern eine Eigenschaft. \(a \cdot b^x\) ist für \(a > 0\) immer positiv, egal wie groß oder klein \(x\) wird. Wer bei einer Schularbeit nach der Nullstelle einer Exponentialfunktion sucht, hat die Aufgabe missverstanden.
Was die einzelnen Parameter mit dem Graphen machen, wenn man sie verändert, steht unter Parameter der Exponentialfunktion.
Wachstumsfaktor aus Prozent
In Aufgaben steht das Wachstum selten als Faktor, sondern als Prozentsatz: „Das Kapital wächst um 3 % pro Jahr", „die Population nimmt jährlich um 10 % ab". Die Umrechnung ist immer dieselbe:
\(p\) ist die Änderung in Prozent, bei Abnahme negativ
| Änderung pro Schritt | \(p\) | Faktor \(b\) |
|---|---|---|
| + 3 % | 3 | 1,03 |
| + 20 % | 20 | 1,20 |
| − 10 % | \(-10\) | 0,90 |
| Verdopplung | 100 | 2 |
| Halbierung | \(-50\) | 0,5 |
Der häufigste Fehler an dieser Stelle: 5 % Wachstum als \(b = 0{,}05\) zu schreiben. Das wäre ein Zerfall auf ein Zwanzigstel pro Schritt. Richtig ist \(b = 1{,}05\) - der alte Wert bleibt (die 1), und 5 % kommen dazu.
Drei Beispiele
Wie man aus solchen Angaben Halbwertszeit und Verdoppelungszeit berechnet (FA 5.5), steht unter Halbwertszeit und Verdoppelungszeit, weitere Anwendungen unter exponentielles Wachstum und Zerfall.
Exponentiell überholt jedes Polynom
Am Anfang sieht \(2^x\) harmlos aus - bei \(x = 1\) ist es sogar kleiner als \(x^2\) bei \(x = 2\). Auf Dauer gibt es aber kein Polynom, das mithält:
| \(x\) | \(2x\) | \(x^2\) | \(2^x\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 5 | 10 | 25 | 32 |
| 10 | 20 | 100 | 1.024 |
| 20 | 40 | 400 | 1.048.576 |
Das gilt für jede Basis \(b > 1\) und jeden Exponenten \(n\): Irgendwann ist \(b^x\) größer als \(x^n\) und bleibt es. Der Vergleich mit einem konkreten linearen Modell steht unter lineares gegen exponentielles Wachstum.
Die Basis \(e\)
Jede Exponentialfunktion lässt sich mit jeder Basis schreiben - \(4^x\) ist dasselbe wie \(2^{2x}\), weil \((2^2)^x = 2^{2x}\). In der Analysis nimmt man fast immer die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\) als Basis, weil \(e^x\) - bis auf einen konstanten Faktor - die einzige Funktion ist, die ihre eigene Ableitung ist. Die Umschreibung lautet \(b^x = e^{\lambda x}\) mit \(\lambda = \ln b\). Was das bedeutet und wozu es gut ist, steht unter natürliche Exponentialfunktion.
Typische Fehler
- \(2^x\) mit \(x^2\) verwechseln: Bei \(x = 3\) ist \(2^3 = 8\) und \(3^2 = 9\) - fast gleich. Bei \(x = 10\) ist es 1.024 gegen 100. Die Frage ist immer: Wo steht das \(x\)?
- Prozent als Faktor schreiben: 5 % Wachstum ist \(b = 1{,}05\), nicht \(0{,}05\). 10 % Abnahme ist \(b = 0{,}9\), nicht \(-0{,}1\).
- Nach der Nullstelle suchen: Es gibt keine. \(a \cdot b^x\) mit \(a > 0\) ist immer positiv.
- Halbwertszeit direkt als Exponent: Bei Halbwertszeit 3 Jahre ist die Funktion \(100 \cdot 0{,}5^{t/3}\), nicht \(100 \cdot 0{,}5^{3t}\). Der Exponent zählt die vergangenen Halbwertszeiten.
- Anfangswert und Basis vertauschen: In \(3 \cdot 2^x\) ist 3 der Anfangswert und 2 die Basis. \(f(0) = 3\), nicht 2.
Vertiefung
Parameter a und b
Was sich am Graphen ändert, wenn Anfangswert oder Basis verändert werden
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Modellieren mit Prozentangaben, Bevölkerung, Abkühlung
Halbwertszeit und Verdoppelungszeit
Aus dem Faktor die Zeit berechnen - mit dem Logarithmus
Natürliche Exponentialfunktion
Die Basis \(e\), die Schreibweise \(a \cdot e^{\lambda t}\) und warum die Analysis sie bevorzugt
Exponentialgleichungen grafisch lösen
Wann ist \(2^x = 100\)? Schnittpunkte am Graphen ablesen
Anwendungen
Zinseszins, Medikamentenabbau, Luftdruck - Aufgaben mit Sachkontext
Logarithmische Skala
Warum exponentielle Daten auf logarithmischen Achsen zu Geraden werden
Übungen
Welche dieser Funktionen ist eine Exponentialfunktion?
Ein Kapital von 2.000 € wächst jährlich um 4 %. Welche Funktion beschreibt das?
Welche Funktion beschreibt exponentiellen Zerfall?
200 Bakterien verdoppeln sich jede Stunde. Wie viele sind es nach 4 Stunden?
Für welches \(x\) gilt \(2^x = 16\)?
Hat \(f(x) = 5 \cdot 2^x\) eine Nullstelle?