Was ist ein Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten besteht aus zwei Gleichungen:

I: \(2x + y = 7\)
II: \(x - y = 2\)

Gesucht: Werte für x und y, die beide Gleichungen erfüllen.

Einsetzungsverfahren

Eine Gleichung nach einer Variable auflösen und in die andere einsetzen:

Beispiel

I: \(y = 2x + 1\) und II: \(3x + y = 11\)

1
I in II einsetzen: \(3x + (2x + 1) = 11\)
2
Lösen: \(5x + 1 = 11 \Rightarrow x = 2\)
3
y berechnen: \(y = 2 \cdot 2 + 1 = 5\)
✓
Lösung: \(x = 2\), \(y = 5\)

Additionsverfahren

Die Gleichungen so addieren/subtrahieren, dass eine Variable wegfällt:

Beispiel

I: \(2x + y = 7\) und II: \(x - y = 2\)

1
I + II: \(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
2
In I: \(2 \cdot 3 + y = 7 \Rightarrow y = 1\)
✓
Lösung: \(x = 3\), \(y = 1\)

Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen nach der gleichen Variable auflösen und gleichsetzen:

Gleichsetzungsverfahren
I: \(y = ...\) und II: \(y = ...\) → gleichsetzen

💡 Tipp: Wähle das Verfahren, das am einfachsten aussieht! Wenn schon eine Variable allein steht → Einsetzungsverfahren.

Übungen

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Aufgabe 1Leicht

Löse: I: \(x + y = 5\), II: \(x - y = 1\). Was ist x?

Aufgabe 2Mittel

Löse: I: \(y = 3x\), II: \(2x + y = 15\). Was ist y?

Aufgabe 3Schwer

Löse: I: \(3x + 2y = 12\), II: \(x - 2y = 4\). Was ist x + y?

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Variable einsetzen und lösen

Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen gleichsetzen

Additionsverfahren

Gleichungen addieren oder subtrahieren