Grundformel
Die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum und Zerfall lautet:
\(a\) = Anfangswert, \(b\) = Wachstumsfaktor, \(t\) = Zeit
Wachstum oder Zerfall?
- \(b > 1\): exponentielles Wachstum - die Größe nimmt zu
- \(0 < b < 1\): exponentieller Zerfall - die Größe nimmt ab
Ein Bakterienstamm verdoppelt sich alle 3 Stunden. Zu Beginn sind 500 Bakterien vorhanden.
\(f(t) = 500 \cdot 2^t\), wobei \(t\) die Anzahl der Verdopplungsperioden (je 3 Stunden) ist.
Nach 4 Perioden (12 Stunden): \(f(4) = 500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000\) Bakterien.
Wachstumsfaktor und Wachstumsrate
Der Wachstumsfaktor \(b\) und die Wachstumsrate \(r\) hängen zusammen:
\(r = b - 1\)
Bei Wachstum: \(r > 0\), bei Zerfall: \(r < 0\)
Eine Population wächst jährlich um 5 %. Dann ist \(r = 0{,}05\) und \(b = 1{,}05\).
Formel: \(f(t) = a \cdot 1{,}05^t\)
Ein Stoff zerfällt jährlich um 12 %. Dann ist \(r = -0{,}12\) und \(b = 0{,}88\).
Formel: \(f(t) = a \cdot 0{,}88^t\)
Exponentielles Wachstum
Ein Prozess heißt exponentiell wachsend, wenn die Zunahme proportional zum aktuellen Bestand ist.
\(a = f(0)\) Anfangswert, \(\lambda\) = Wachstumskonstante, \(t\) = Zeit
Alternative Darstellung mit dem Wachstumsfaktor \(b = e^{\lambda} > 1\):
Pro Zeiteinheit wird mit \(b\) multipliziert. Wachstumsrate: \(p = b - 1\) (z. B. \(b = 1{,}05\) entspricht 5 % Wachstum)
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 3 Stunden. Zu Beginn sind 500 Bakterien vorhanden.
Wachstumsfaktor: \(b = 2\) pro 3 Stunden → pro Stunde: \(b = 2^{1/3} \approx 1{,}26\)
Funktion: \(N(t) = 500 \cdot 2^{t/3}\)
Nach 9 Stunden: \(N(9) = 500 \cdot 2^{9/3} = 500 \cdot 2^3 = 500 \cdot 8 = 4000\) Bakterien
Exponentieller Zerfall
Ein Prozess heißt exponentiell zerfallend, wenn die Abnahme proportional zum aktuellen Bestand ist.
Oft geschrieben als \(f(t) = a \cdot e^{-\mu t}\) mit \(\mu > 0\) (Zerfallskonstante)
Alternative Darstellung:
Pro Zeiteinheit wird mit \(b\) multipliziert. Abnahmerate: \(p = 1 - b\) (z. B. \(b = 0{,}9\) entspricht 10 % Abnahme)
Ein radioaktives Präparat hat eine Masse von 200 g. Pro Jahr zerfallen 12 % der vorhandenen Masse.
Zerfallsfaktor: \(b = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\)
Funktion: \(m(t) = 200 \cdot 0{,}88^t\)
Nach 5 Jahren: \(m(5) = 200 \cdot 0{,}88^5 \approx 200 \cdot 0{,}5277 \approx 105{,}5\) g
Zusammenhang der Darstellungen
Die verschiedenen Schreibweisen beschreiben denselben Prozess:
Umrechnung:
- Von \(b\) zu \(\lambda\): \(\lambda = \ln(b)\)
- Von \(\lambda\) zu \(b\): \(b = e^{\lambda}\)
- Von Prozent \(p\) zu \(b\): \(b = 1 + \frac{p}{100}\) (Wachstum) bzw. \(b = 1 - \frac{p}{100}\) (Zerfall)
Jährliches Wachstum von 5 %:
\(b = 1{,}05\) → \(\lambda = \ln(1{,}05) \approx 0{,}0488\)
Also: \(f(t) = a \cdot 1{,}05^t = a \cdot e^{0{,}0488t}\)
Reale Anwendungen
Exponentielle Prozesse treten in vielen Bereichen auf:
| Bereich | Wachstum | Zerfall |
|---|---|---|
| Biologie | Bakterienvermehrung, Bevölkerungswachstum | Medikamentenabbau im Körper |
| Physik | Kernkettenreaktion | Radioaktiver Zerfall, Abkühlung |
| Wirtschaft | Zinseszins, Inflation | Wertverfall (Abschreibung) |
| Technik | Signalverstärkung | Kondensatorentladung |
Erkennungsmerkmal: Exponentielles Wachstum/Zerfall liegt vor, wenn in gleichen Zeitabständen immer mit dem gleichen Faktor multipliziert wird. Bei linearem Wachstum wird dagegen immer der gleiche Betrag addiert.
Übungen
Ein Kapital von 1000 € wird jährlich mit 4 % verzinst. Wie lautet die Funktion \(K(t)\)?
Ein Auto verliert jährlich 15 % seines Wertes. Welcher Faktor beschreibt diesen Zerfall?
Bakterien vermehren sich alle 2 Stunden um den Faktor 3. Anfangs sind 100 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 6 Stunden?
Welchen Wert hat die Wachstumskonstante \(\lambda\) bei einem jährlichen Wachstum von 10 %?
Ein Medikament wird im Körper so abgebaut, dass nach 4 Stunden noch 50 % vorhanden sind. Wie viel Prozent sind nach 8 Stunden noch vorhanden?
Ein Kapital von 1000 € wächst jährlich um 4 %. Wie lautet die Wachstumsfunktion?
Ein Stoff zerfällt jährlich um 10 %. Wie groß ist der Wachstumsfaktor \(b\)?
Die Halbwertszeit eines radioaktiven Stoffes beträgt 5 Jahre. Wie viel Prozent sind nach 10 Jahren noch vorhanden?
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 2 Stunden. Zu Beginn sind 200 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 8 Stunden?
Eine Population wächst mit dem Faktor \(b = 1{,}05\) pro Jahr. Nach wie vielen Jahren hat sie sich verdoppelt? (Auf ganze Jahre gerundet)