Quadratische Gleichungen lösen: Methoden und Lösungsfälle

Was ist eine quadratische Gleichung?

In einer quadratischen Gleichung kommt die Unbekannte \(x\) höchstens in der zweiten Potenz vor. Durch Äquivalenzumformungen lässt sich jede solche Gleichung auf eine Seite bringen, sodass rechts 0 steht:

Allgemeine Form

\(ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{mit} \quad a \neq 0\)

Teilt man die ganze Gleichung durch \(a\), steht vor \(x^2\) eine 1. Diese Variante heißt Normalform - sie ist die Voraussetzung für die kleine Lösungsformel:

Normalform

\(x^2 + px + q = 0\)

mit \(p = \frac{b}{a}\) und \(q = \frac{c}{a}\)

Kommt \(x\) nur in der zweiten Potenz vor (\(b = 0\)), heißt die Gleichung reinquadratisch. Kommt auch ein \(x\)-Glied vor (\(b \neq 0\)), heißt sie gemischtquadratisch - mit Absolutglied \(c\) ist sie vollständig, ohne \(c\) unvollständig. Für jeden dieser drei Fälle gibt es einen anderen schnellsten Weg:

Typ	Form	Schnellste Methode
Reinquadratisch (\(b = 0\))	\(ax^2 + c = 0\)	Umformen und Wurzel ziehen
Gemischtquadratisch ohne Absolutglied (\(c = 0\))	\(ax^2 + bx = 0\)	\(x\) ausklammern
Gemischtquadratisch, vollständig	\(ax^2 + bx + c = 0\)	Lösungsformel

Für Eltern, die in Deutschland zur Schule gegangen sind: Die Formeln heißen dort anders. Die kleine Lösungsformel ist die pq-Formel, die große Lösungsformel die abc-Formel oder Mitternachtsformel. Die Rechnung ist dieselbe, nur der Name unterscheidet sich.

Methode 1: Wurzel ziehen (reinquadratische Gleichung)

Fehlt das \(x\)-Glied, isoliert man \(x^2\) und zieht die Wurzel. Das Ergebnis hat zwei Vorzeichen, weil sowohl \(3^2\) als auch \((-3)^2\) gleich 9 ist:

Beispiel: \(3x^2 - 27 = 0\)

\(3x^2 = 27\)

\(x^2 = 9\)

\(x = \pm\sqrt{9}\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\)

Der häufigste Fehler bei Schularbeiten: Nur \(x = 3\) hinschreiben. Beim Wurzelziehen gibt es immer \(\pm\) - die negative Lösung zählt genauso.

Steht nach dem Umformen eine negative Zahl unter der Wurzel (etwa \(x^2 = -4\)), hat die Gleichung in \(\mathbb{R}\) keine Lösung. Mehr dazu unter reinquadratische Gleichungen.

Methode 2: Ausklammern (ohne Absolutglied)

Fehlt das Absolutglied \(c\), steckt in jedem Summanden ein \(x\). Das klammert man aus und nutzt den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.

Beispiel: \(x^2 - 5x = 0\)

Ausklammern: \(x(x - 5) = 0\)

Satz vom Nullprodukt: \(x = 0\) oder \(x - 5 = 0\)

\(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\)

Eine Lösung ist bei diesem Typ immer \(x = 0\). Wer stattdessen durch \(x\) dividiert, verliert genau diese Lösung - Division durch die Unbekannte ist keine Äquivalenzumformung.

Methode 3: Kleine Lösungsformel (pq-Formel)

Sind alle drei Glieder vorhanden, führt kein einfacher Trick mehr zum Ziel. Die kleine Lösungsformel gilt für die Normalform \(x^2 + px + q = 0\). In Österreich heißt sie im Unterricht meist „kleine Lösungsformel", in deutschen Schulbüchern „pq-Formel" - es ist dieselbe Formel:

Kleine Lösungsformel

\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)

Beispiel: \(x^2 + 2x - 8 = 0\)

Ablesen: \(p = 2\), \(q = -8\)

\(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 - (-8)} = -1 \pm \sqrt{9} = -1 \pm 3\)

\(x_1 = 2\), \(x_2 = -4\)

Probe: \(2^2 + 2 \cdot 2 - 8 = 0\) und \((-4)^2 + 2 \cdot (-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0\). Beide Lösungen stimmen. Herleitung, Sonderfälle und weitere Beispiele stehen auf der Seite zur pq-Formel.

Methode 4: Große Lösungsformel (abc-Formel)

Steht vor \(x^2\) ein Faktor \(a \neq 1\), hat man zwei Möglichkeiten: durch \(a\) dividieren und die kleine Formel verwenden - oder direkt die große Lösungsformel einsetzen, die mit der allgemeinen Form arbeitet. In deutschen Schulbüchern heißt sie abc-Formel oder Mitternachtsformel, weil man sie auch um Mitternacht aufsagen können soll:

Große Lösungsformel

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Beispiel: \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)

Ablesen: \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -2\)

\(x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}\)

\(x_1 = \frac{2}{4} = 0{,}5\), \(x_2 = \frac{-8}{4} = -2\)

Bei Brüchen als Koeffizienten ist der Umweg über die Normalform oft fehleranfälliger als die große Formel - hier lohnt sich das Einsetzen direkt. Die Herleitung über die quadratische Ergänzung steht unter Große Lösungsformel.

Lösungsfälle: Was die Diskriminante verrät

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante \(D\). Er entscheidet, wie viele Lösungen die Gleichung hat, noch bevor man fertig rechnet:

Diskriminante

\(D = b^2 - 4ac\) bzw. in Normalform \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)

Diskriminante	Anzahl der Lösungen	Geometrisch
\(D > 0\)	Zwei verschiedene reelle Lösungen	Parabel schneidet die x-Achse zweimal
\(D = 0\)	Genau eine Lösung (Doppellösung)	Parabel berührt die x-Achse
\(D < 0\)	Keine reelle Lösung	Parabel liegt ganz über oder unter der x-Achse

Die geometrische Deutung ist in der Grundkompetenz AG 2.3 ausdrücklich verlangt: Lösungen einer quadratischen Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Parabel. Ausführlich mit Beispielen zu jedem Fall: Diskriminante und Lösungsfälle.

Welche Methode wann?

Gleichung	Woran man es erkennt	Methode
\(x^2 = k\)	kein \(x\)-Glied	Wurzel ziehen
\(x^2 + bx = 0\)	kein Absolutglied	Ausklammern
\(x^2 + px + q = 0\)	Normalform, alle Glieder	Kleine Lösungsformel
\(ax^2 + bx + c = 0\)	\(a \neq 1\), alle Glieder	Große Lösungsformel oder erst durch \(a\) teilen

Schreibt die Angabe keine Methode vor, ist der kürzeste Weg der beste: Er spart Zeit für die übrigen Aufgaben und hat weniger Stellen, an denen ein Rechenfehler passieren kann. Alle vier Wege führen bei richtiger Rechnung zum selben Ergebnis - das lässt sich mit der Probe (Einsetzen der Lösung in die Ausgangsgleichung) immer nachprüfen.

Typische Fehler

Das \(\pm\) vergessen: \(x^2 = 9\) hat zwei Lösungen, \(3\) und \(-3\).
Kleine Lösungsformel ohne Normalform: Bei \(2x^2 + 4x - 6 = 0\) muss zuerst durch 2 dividiert werden, sonst sind \(p\) und \(q\) falsch.
Vorzeichen von \(p\) und \(q\) verdreht: In \(x^2 - 6x + 5 = 0\) ist \(p = -6\), nicht \(6\). In der Formel wird daraus \(-\frac{p}{2} = +3\).
Ausklammern übersehen: \(x^2 - 4x = 0\) mit der Lösungsformel zu rechnen ist nicht falsch, aber unnötig - \(x(x - 4) = 0\) liefert die Lösungen in einer Zeile.
Durch \(x\) dividieren: Aus \(x^2 = 5x\) wird dann \(x = 5\), und die Lösung \(x = 0\) ist weg.

Vertiefung

Reinquadratische Gleichungen

Gleichungen der Form \(ax^2 + c = 0\), auch mit negativem Radikanden

pq-Formel (kleine Lösungsformel)

Für die Normalform \(x^2 + px + q = 0\): Herleitung, vier Beispiele, Kontrolle mit Vieta

Große Lösungsformel (abc-Formel)

Für \(ax^2 + bx + c = 0\) direkt aus den Koeffizienten, mit Herleitung über die quadratische Ergänzung

Diskriminante und Lösungsfälle

Anzahl der Lösungen bestimmen, bevor man rechnet

Satz von Vieta

Lösungen aus Summe und Produkt erraten und Gleichungen rückwärts aufstellen

Gleichungen mit Parametern

Für welche Werte von \(k\) hat \(x^2 + kx + 4 = 0\) eine, zwei oder keine Lösung?