Grundlegender Unterschied
Konstante Änderungsrate \(k\) – die Differenz aufeinanderfolgender Werte ist immer gleich
Konstanter Wachstumsfaktor \(b\) – der Quotient aufeinanderfolgender Werte ist immer gleich
Merksatz:
- Linear: Konstante Differenz → \(f(x+1) - f(x) = k\)
- Exponentiell: Konstanter Quotient → \(\frac{f(x+1)}{f(x)} = b\)
Erkennung aus der Wertetabelle
So erkennst du den Wachstumstyp aus einer Tabelle:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(5\) | \(8\) | \(11\) | \(14\) | \(17\) |
| Differenz | \(+3\) | \(+3\) | \(+3\) | \(+3\) |
Konstante Differenz \(= 3\) → linear: \(f(x) = 3x + 5\)
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | \(5\) | \(10\) | \(20\) | \(40\) | \(80\) |
| Quotient | \(\times 2\) | \(\times 2\) | \(\times 2\) | \(\times 2\) |
Konstanter Quotient \(= 2\) → exponentiell: \(g(x) = 5 \cdot 2^x\)
Vorgehen: Berechne die Differenzen aufeinanderfolgender Werte. Sind sie gleich? → Linear. Berechne dann die Quotienten. Sind sie gleich? → Exponentiell.
Erkennung aus dem Graph
Im Koordinatensystem sehen lineare und exponentielle Funktionen sehr unterschiedlich aus:
Linearer Graph:
- Gerade Linie
- Überall gleiche Steigung
- Kann negativ werden
Exponentieller Graph:
- Gekrümmte Kurve
- Steigung nimmt zu (bei Wachstum) oder ab (bei Zerfall)
- Nähert sich einer Asymptote, wird aber nie null (bei \(a > 0\))
- Steigt anfangs langsam, dann immer schneller (bei Wachstum)
Langfristiges Verhalten
Auch wenn exponentielles Wachstum am Anfang langsamer sein kann als lineares, überholt es langfristig immer das lineare Wachstum:
Anna bekommt jedes Jahr 1000 € Gehaltserhöhung (linear): \(f(t) = 30\,000 + 1000t\)
Ben bekommt jedes Jahr 3 % Gehaltserhöhung (exponentiell): \(g(t) = 30\,000 \cdot 1{,}03^t\)
| Jahr | Anna | Ben |
|---|---|---|
| 0 | 30 000 € | 30 000 € |
| 10 | 40 000 € | 40 317 € |
| 20 | 50 000 € | 54 183 € |
| 30 | 60 000 € | 72 818 € |
| 50 | 80 000 € | 131 390 € |
Am Anfang sind die Werte ähnlich, aber langfristig gewinnt Ben deutlich.
Fazit: Exponentielles Wachstum überholt lineares Wachstum immer – es ist nur eine Frage der Zeit. Das gilt sogar, wenn der lineare Zuwachs anfangs viel größer ist.
Übungen
Die Werte einer Funktion sind: 4, 12, 36, 108. Welcher Wachstumstyp liegt vor?
Was ist das Erkennungsmerkmal für lineares Wachstum in einer Wertetabelle?
Die Werte sind: 100, 110, 121, 133,1. Welche Funktion passt?
Firma A wächst linear um 50 000 € pro Jahr (Start: 500 000 €). Firma B wächst exponentiell um 8 % pro Jahr (Start: 500 000 €). Ab welchem Jahr hat Firma B einen höheren Umsatz?