Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum ist die momentane Änderungsrate proportional zum aktuellen Bestand. Das bedeutet: Je mehr vorhanden ist, desto schneller wächst es.

Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums
\(y'(t) = k \cdot y(t)\)

\(k > 0\): Wachstum, \(k < 0\): Zerfall (exponentielle Abnahme)

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist:

Lösung
\(y(t) = y_0 \cdot e^{kt}\)

\(y_0 = y(0)\) ist der Anfangswert, \(k\) die Wachstumskonstante.

Beispiel: Bakterienwachstum

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 3 Stunden. Zu Beginn sind 500 Bakterien vorhanden.

Ansatz: \(y(t) = 500 \cdot e^{kt}\) mit \(y(3) = 1000\)

\(1000 = 500 \cdot e^{3k} \Rightarrow e^{3k} = 2 \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0{,}231\)

Also: \(y(t) = 500 \cdot e^{\frac{\ln 2}{3} \cdot t}\)

Verdopplungszeit und Halbwertszeit

Verdopplungszeit (bei Wachstum, \(k > 0\))
\(t_2 = \frac{\ln 2}{k}\)
Halbwertszeit (bei Zerfall, \(k < 0\))
\(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}\)

Beschränktes Wachstum

In der Realität kann Wachstum nicht unbegrenzt sein. Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Bestand einer oberen Schranke \(S\) (Sättigungsgrenze).

DGL des beschränkten Wachstums
\(y'(t) = k \cdot (S - y(t))\)

\(S\) ist die Sättigungsgrenze, \(k > 0\) die Wachstumsrate.

Lösung
\(y(t) = S - (S - y_0) \cdot e^{-kt}\)

Für \(t \to \infty\) gilt \(y(t) \to S\).

Beispiel: Lernkurve

Ein Schüler lernt Vokabeln. Die maximale Anzahl ist \(S = 200\), zu Beginn kennt er \(y_0 = 20\) Vokabeln, \(k = 0{,}05\).

\(y(t) = 200 - 180 \cdot e^{-0{,}05t}\)

Nach 10 Stunden: \(y(10) = 200 - 180 \cdot e^{-0{,}5} \approx 200 - 109{,}1 \approx 90{,}9\) Vokabeln.

Logistisches Wachstum

Das logistische Wachstum kombiniert anfangs exponentielles Wachstum mit einer Sättigungsgrenze. Es beschreibt viele natürliche Prozesse besonders realistisch.

DGL des logistischen Wachstums
\(y'(t) = k \cdot y(t) \cdot \left(1 - \frac{y(t)}{S}\right)\)

Für kleine \(y\) verhält es sich wie exponentielles Wachstum, nahe \(S\) bremst es ab.

Lösung (logistische Funktion)
\(y(t) = \frac{S}{1 + \left(\frac{S}{y_0} - 1\right) \cdot e^{-kt}}\)

Kennzeichen: Der Graph hat eine S-Form (Sigmoidkurve). Der Wendepunkt liegt bei \(y = \frac{S}{2}\) – dort ist das Wachstum am stärksten.

Vergleich der Modelle

ModellDGLSchrankeTypisch für
Exponentiell\(y' = k \cdot y\)keineZinsen, radioaktiver Zerfall
Beschränkt\(y' = k(S - y)\)\(S\)Abkühlung, Lernkurve
Logistisch\(y' = ky(1 - y/S)\)\(S\)Bevölkerung, Epidemien

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Welche DGL beschreibt exponentielles Wachstum?

Aufgabe 2Leicht

Ein radioaktives Element hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Wie groß ist \(|k|\)?

Aufgabe 3Mittel

Beim beschränkten Wachstum mit \(S = 100\) und \(y_0 = 10\): Was passiert für \(t \to \infty\)?

Aufgabe 4Mittel

Beim logistischen Wachstum liegt der Wendepunkt bei:

Aufgabe 5Schwer

Eine Population wächst exponentiell mit \(y_0 = 200\) und \(k = 0{,}1\). Nach wie vielen Zeiteinheiten hat sich die Population verdoppelt?

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