Prinzip der Polynomdivision
Bei der Polynomdivision teilt man ein Polynom \(f(x)\) durch ein Polynom \(g(x)\) und erhält ein Ergebnis \(q(x)\) (Quotient) und einen Rest \(r(x)\):
\( f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x) \)
wobei \(\deg(r) < \deg(g)\) oder \(r = 0\)
Voraussetzung: Der Grad des Dividenden \(f(x)\) muss mindestens so groß sein wie der Grad des Divisors \(g(x)\).
Wichtigster Spezialfall: Division durch einen Linearfaktor \((x - x_0)\), wenn \(x_0\) eine Nullstelle von \(f(x)\) ist. Dann ist der Rest \(r = 0\).
Algorithmus Schritt für Schritt
Die Polynomdivision funktioniert analog zur schriftlichen Division:
Schritt 1: Teile den höchsten Term des Dividenden durch den höchsten Term des Divisors:
\( x^3 : x = x^2 \)
Schritt 2: Multipliziere das Ergebnis mit dem gesamten Divisor:
\( x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2 \)
Schritt 3: Subtrahiere vom Dividenden:
\( (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) - (x^3 - x^2) = -5x^2 + 11x - 6 \)
Schritt 4: Wiederhole mit dem neuen Polynom:
\( -5x^2 : x = -5x \), dann \( -5x \cdot (x-1) = -5x^2 + 5x \)
\( (-5x^2 + 11x - 6) - (-5x^2 + 5x) = 6x - 6 \)
Schritt 5: Nochmal:
\( 6x : x = 6 \), dann \( 6 \cdot (x-1) = 6x - 6 \)
\( (6x - 6) - (6x - 6) = 0 \)
Ergebnis: \( (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6 \)
Tipp: Fehlende Potenzen unbedingt mit dem Koeffizienten 0 einsetzen! Z. B. schreibt man \(x^3 + 0x^2 + 0x + 1\) statt \(x^3 + 1\).
Abspalten von Linearfaktoren
Kennt man eine Nullstelle \(x_0\) eines Polynoms \(f(x)\), so kann man den Linearfaktor \((x - x_0)\) abspalten:
Ist \( f(x_0) = 0 \), dann gilt: \( f(x) = (x - x_0) \cdot q(x) \)
Gegeben: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)
\( f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 \) -- also ist \(x_0 = 1\) eine Nullstelle.
Division: \( f(x) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6 \)
Weitere Faktorisierung: \( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \)
Ergebnis: \( f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \)
Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\).
Horner-Schema
Das Horner-Schema ist eine effizientere Methode für die Division durch einen Linearfaktor \((x - x_0)\). Es liefert die Koeffizienten des Quotienten und den Rest.
Division von \(a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0\) durch \((x - x_0)\):
Man schreibt die Koeffizienten in eine Zeile und arbeitet von links nach rechts.
Koeffizienten: \(2, -3, -5, 6\), Nullstelle: \(x_0 = 2\)
| \(2\) | \(-3\) | \(-5\) | \(6\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(x_0 = 2\) | \(\downarrow\) | \(4\) | \(2\) | \(-6\) |
| Ergebnis | \(2\) | \(1\) | \(-3\) | \(0\) |
Leserichtung: \(2x^2 + x - 3\), Rest = 0
Also: \( 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(2x^2 + x - 3) \)
Tipp: Das Horner-Schema ist nicht nur schneller, sondern auch weniger fehleranfällig als die lange Polynomdivision. Es eignet sich besonders gut zum Probieren von Nullstellen.
Übungen
Berechne: \( (x^2 - 5x + 6) : (x - 2) \)
Was muss man bei der Polynomdivision beachten, wenn ein Term fehlt (z. B. bei \(x^3 + 1\))?
Berechne: \( (x^3 + 2x^2 - x - 2) : (x + 1) \)
Welchen Rest erhält man bei \( (x^3 + 1) : (x + 1) \)?
Berechne mittels Horner-Schema: \( (2x^3 - 7x + 3) : (x - 1) \). Wie lauten die Koeffizienten des Quotienten?