Die Normalform und ihre drei Parameter
Wäre \(a = 0\), fiele der quadratische Term weg und es bliebe eine lineare Funktion. \(b\) und \(c\) dürfen dagegen 0 sein: \(f(x) = x^2\) ist die einfachste quadratische Funktion, die Normalparabel.
| Parameter | Wirkung auf den Graphen | Direkt ablesbar? |
|---|---|---|
| \(a\) | \(a > 0\): nach oben offen, Scheitel ist Tiefpunkt. \(a < 0\): nach unten offen, Scheitel ist Hochpunkt. \(|a| > 1\): schmäler als die Normalparabel, \(|a| < 1\): breiter. | Ja, am Vorzeichen und Betrag |
| \(b\) | Verschiebt den Scheitel - allerdings nicht nur seitlich, sondern auch in der Höhe. Die x-Koordinate des Scheitels ist \(-\frac{b}{2a}\). | Nein, nur über die Rechnung |
| \(c\) | Schnittpunkt mit der y-Achse, denn \(f(0) = c\). Verschiebt die ganze Parabel nach oben oder unten. | Ja, Punkt \((0 \mid c)\) |
Was „schmäler" bei \(a\) genau bedeutet: Jeder Funktionswert wird mit \(a\) multipliziert. Bei \(f(x) = 3x^2\) ist der Wert an der Stelle \(x = 2\) nicht 4, sondern 12 - die Parabel steigt dreimal so schnell und wirkt dadurch enger. Bei \(a = \frac{1}{2}\) ist es umgekehrt.
| Funktion | \(a\) | \(c\) | Öffnung | Breite | y-Achse bei |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | 1 | 0 | oben | Normalparabel | \((0 \mid 0)\) |
| \(f(x) = -x^2 + 3\) | \(-1\) | 3 | unten | wie Normalparabel | \((0 \mid 3)\) |
| \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\) | 2 | 1 | oben | schmäler | \((0 \mid 1)\) |
| \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 4\) | \(\frac{1}{2}\) | \(-4\) | oben | breiter | \((0 \mid -4)\) |
Die Parabel zeichnen
Jede Parabel ist achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade durch den Scheitel, \(x = -\frac{b}{2a}\). Das halbiert die Arbeit beim Zeichnen: Hat man die Punkte rechts vom Scheitel, spiegelt man sie nach links.
Für die Normalparabel \(y = x^2\) lohnt es sich, die Wertetabelle im Kopf zu haben - alle anderen Parabeln entstehen daraus durch Strecken und Verschieben:
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Vom Scheitel aus geht es also um 1, dann um 3, dann um 5 nach oben - die Differenzen sind die ungeraden Zahlen. Bei \(f(x) = 2x^2\) verdoppeln sich diese Schritte auf 2, 6, 10. Wie sich die Parabel bei Änderungen von \(a\), \(d\) und \(e\) bewegt, steht unter Parabel verschieben.
Der Scheitelpunkt
Der Scheitel ist der tiefste Punkt (bei \(a > 0\)) oder der höchste Punkt (bei \(a < 0\)) der Parabel. Aus der Normalform berechnet man ihn so:
Die zweite Zeile heißt nur: Die berechnete x-Koordinate in die Funktion einsetzen. Woher \(-\frac{b}{2a}\) kommt und wie man die Funktion so umschreibt, dass man den Scheitel direkt ablesen kann, steht auf der Seite zur Scheitelpunktform.
Die Nullstellen
Nullstellen sind die x-Werte, an denen die Parabel die x-Achse trifft, also die Lösungen der Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\). Eine Parabel kann die Achse zweimal schneiden, einmal berühren oder ganz verfehlen - das entscheidet die Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\):
- \(D > 0\): zwei Nullstellen, symmetrisch zum Scheitel
- \(D = 0\): eine Nullstelle, der Scheitel liegt auf der x-Achse
- \(D < 0\): keine Nullstelle, die Parabel liegt ganz über oder ganz unter der Achse
Gerechnet wird mit den Methoden für quadratische Gleichungen - Wurzelziehen, Ausklammern oder Lösungsformel. Die Fallunterscheidung im Detail: Diskriminante und Lösungsfälle.
Drei Schreibweisen für dieselbe Funktion
Je nachdem, was man über eine Parabel wissen will, ist eine andere Form praktisch. Alle drei beschreiben denselben Graphen und lassen sich ineinander umrechnen:
| Form | Gleichung | Direkt ablesbar |
|---|---|---|
| Normalform | \(f(x) = ax^2 + bx + c\) | y-Achsenabschnitt \(c\), Öffnung über \(a\) |
| Scheitelpunktform | \(f(x) = a(x - d)^2 + e\) | Scheitel \(S(d \mid e)\) |
| Nullstellenform | \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) | Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) (nur wenn \(D \geq 0\)) |
Wo quadratische Funktionen vorkommen
Der klassische Fall ist die Wurfbewegung: Ohne Luftwiderstand fliegt ein geworfener Ball auf einer nach unten offenen Parabel, der höchste Punkt der Flugbahn ist ihr Scheitel. Der zweite Klassiker, auch bei Schularbeiten, ist die Flächenoptimierung:
Die Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 10\) haben hier ebenfalls eine Bedeutung: Dort wäre eine Seite 0 m lang, das Rechteck also verschwunden. Solche Deutungen im Sachzusammenhang werden bei der Zentralmatura verlangt, wo quadratische Funktionen als Polynomfunktionen 2. Grades vorkommen.
Vertiefung
Übungen
Wohin ist die Parabel von \(f(x) = -x^2 + 3\) geöffnet?
Wo schneidet \(f(x) = 2x^2 - 3x + 7\) die y-Achse?
Wo liegt der Scheitelpunkt von \(f(x) = (x - 2)^2 + 3\)?
Welche x-Koordinate hat der Scheitel von \(f(x) = x^2 + 6x - 1\)?
Wie viele Nullstellen hat \(f(x) = x^2 + 4\)?
Welche Nullstellen hat \(f(x) = 2(x - 1)(x + 3)\)?