Scheitelpunktform: Scheitel ablesen und aus der Normalform umrechnen

Die Scheitelpunktform

Scheitelpunktform

\(f(x) = a(x - d)^2 + e\)

Scheitelpunkt \(S(d \mid e)\), \(a\) bestimmt Öffnung und Breite

Parameter	Bedeutung	Wirkung auf den Graphen
\(d\)	x-Koordinate des Scheitels	Verschiebung nach rechts (\(d > 0\)) oder links (\(d < 0\))
\(e\)	y-Koordinate des Scheitels	Verschiebung nach oben (\(e > 0\)) oder unten (\(e < 0\))
\(a > 0\)	nach oben offen	Scheitel ist Tiefpunkt (Minimum)
\(a < 0\)	nach unten offen	Scheitel ist Hochpunkt (Maximum)
\(\|a\| > 1\)	gestreckt	Parabel schmäler als \(y = x^2\)
\(\|a\| < 1\)	gestaucht	Parabel breiter als \(y = x^2\)

Die Vorzeichenfalle: In der Formel steht \((x - d)\). Steht in einer Funktion \((x + 3)^2\), dann ist das \((x - (-3))^2\), also \(d = -3\). Der Scheitel liegt bei \(x = -3\), nicht bei \(+3\). Für \(e\) gilt das nicht - es steht mit seinem Vorzeichen so da, wie es ist.

Warum die Form den Scheitel zeigt

Ein Quadrat ist nie negativ: \((x - d)^2 \geq 0\) für jedes \(x\), und genau dann 0, wenn \(x = d\). Bei \(a > 0\) ist \(a(x - d)^2\) also mindestens 0, und \(f(x) = a(x - d)^2 + e\) ist mindestens \(e\). Den kleinsten Wert \(e\) nimmt die Funktion genau an der Stelle \(x = d\) an - das ist der Tiefpunkt \(S(d \mid e)\). Bei \(a < 0\) dreht sich alles um: \(a(x - d)^2\) ist höchstens 0, der Scheitel ist der Hochpunkt.

Aus demselben Grund ist \(x = d\) die Symmetrieachse: \(f(d + 1)\) und \(f(d - 1)\) ergeben beide \(a \cdot 1 + e\), die Parabel ist links und rechts vom Scheitel gleich.

Scheitel ablesen

Beispiel 1: \(f(x) = 2(x - 3)^2 + 4\)

Vergleich mit \(a(x - d)^2 + e\): \(a = 2\), \(d = 3\), \(e = 4\)

Scheitel \(S(3 \mid 4)\). Wegen \(a = 2 > 0\) ist er der Tiefpunkt, die Parabel ist schmäler als die Normalparabel.

Beispiel 2: \(f(x) = -(x + 2)^2 - 1\)

\((x + 2)\) ist \((x - (-2))\), also \(d = -2\). Das Minus vor der Klammer ist \(a = -1\), und \(e = -1\).

Scheitel \(S(-2 \mid -1)\), Hochpunkt, weil \(a < 0\). Die Parabel liegt komplett unterhalb von \(y = -1\) und hat deshalb keine Nullstelle.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung

Die Idee: Aus \(x^2 + bx\) ein vollständiges Quadrat machen. Dazu nimmt man die Hälfte von \(b\), quadriert sie und addiert das Ergebnis - und zieht es sofort wieder ab, damit sich die Funktion nicht ändert.

Beispiel 3: \(f(x) = x^2 - 6x + 5\)

Hälfte von \(-6\) ist \(-3\), das Quadrat davon ist 9. Diese 9 addieren und subtrahieren: \(f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 5\)

Die ersten drei Glieder sind die binomische Formel \((x - 3)^2\): \(f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 5\)

Zusammenfassen: \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\). Scheitel \(S(3 \mid -4)\).

Steht vor \(x^2\) ein Faktor \(a \neq 1\), klammert man ihn zuerst aus den beiden ersten Gliedern aus und ergänzt innerhalb der Klammer:

Beispiel 4: \(f(x) = 2x^2 - 8x + 5\)

2 ausklammern: \(f(x) = 2(x^2 - 4x) + 5\)

In der Klammer ergänzen: Hälfte von \(-4\) ist \(-2\), Quadrat 4. \(f(x) = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 = 2\left((x - 2)^2 - 4\right) + 5\)

Die \(-4\) aus der Klammer holen - dabei mit 2 multiplizieren: \(f(x) = 2(x - 2)^2 - 8 + 5 = 2(x - 2)^2 - 3\). Scheitel \(S(2 \mid -3)\).

Wer nur den Scheitel braucht und nicht die Form, kann die Rechnung abkürzen. Die quadratische Ergänzung liefert allgemein:

Scheitel aus der Normalform

\(d = -\dfrac{b}{2a} \qquad e = f(d)\)

Gleichwertig: \(e = c - \dfrac{b^2}{4a}\)

Kontrolle an Beispiel 4: \(d = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2\) und \(e = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3\). Dasselbe Ergebnis wie oben, in zwei Zeilen. Die Ergänzung braucht man trotzdem, sobald die Scheitelpunktform selbst verlangt ist - und um zu verstehen, woher \(-\frac{b}{2a}\) kommt.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

In diese Richtung genügt Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel:

Beispiel 5: \(f(x) = 2(x - 1)^2 + 3\)

Klammer auflösen: \((x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\), also \(f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) + 3\)

Ausmultiplizieren: \(f(x) = 2x^2 - 4x + 2 + 3\)

\(f(x) = 2x^2 - 4x + 5\). Probe über den Scheitel: \(d = -\frac{-4}{4} = 1\), passt.

Nullstellen aus der Scheitelpunktform

Auch die Nullstellen lassen sich aus dieser Form berechnen - oft schneller als mit der Lösungsformel. Man setzt \(f(x) = 0\) und löst nach der Klammer auf:

Beispiel 6: \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\)

\((x - 3)^2 - 4 = 0\), also \((x - 3)^2 = 4\)

Wurzel ziehen mit beiden Vorzeichen: \(x - 3 = \pm 2\)

\(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\). Beide liegen symmetrisch um \(d = 3\): der Scheitel sitzt genau in der Mitte der Nullstellen.

Das ist dieselbe Funktion wie in Beispiel 3, und tatsächlich hat \(x^2 - 6x + 5 = 0\) die Lösungen 5 und 1. Haben \(e\) und \(a\) dasselbe Vorzeichen - etwa bei \((x - 3)^2 + 4\) - steht nach dem Umformen eine negative Zahl auf der rechten Seite, \((x - 3)^2 = -4\), und es gibt keine Nullstelle: Der Scheitel liegt über der x-Achse, und die Parabel ist nach oben offen.

Typische Fehler

Vorzeichen von \(d\) verdreht: \((x + 3)^2\) bedeutet \(d = -3\). Wer \(S(3 \mid \ldots)\) abliest, hat die Parabel auf der falschen Seite.
Ergänzte Zahl nicht wieder abgezogen: Aus \(x^2 - 6x + 5\) wird \(x^2 - 6x + 9 + 5\) - dann ist es eine andere Funktion. Die 9 muss auch subtrahiert werden.
Bei \(a \neq 1\) die Ergänzung nicht mit \(a\) multipliziert: In Beispiel 4 wird aus \(-4\) in der Klammer \(-8\) außerhalb, weil die Klammer mit 2 multipliziert wird.
\(e\) statt \(f(d)\) geraten: \(e\) ist nicht \(c\). Bei \(x^2 - 6x + 5\) ist \(c = 5\), aber \(e = -4\).
Faktor \(a\) beim Ablesen vergessen: Bei \(f(x) = 3(x - 1)^2\) ist jeder Funktionswert dreimal so groß wie bei \((x - 1)^2\). Der Scheitel bleibt \(S(1 \mid 0)\), aber die Parabel ist schmäler.

Scheitelpunktform einer Parabel