Anzahl der Nullstellen
Eine quadratische Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\) kann haben:
- Zwei Nullstellen: Parabel schneidet die x-Achse zweimal
- Eine Nullstelle: Parabel berührt die x-Achse (Scheitelpunkt auf x-Achse)
- Keine Nullstelle: Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse
pq-Formel
Für Gleichungen der Form \(x^2 + px + q = 0\):
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)
Beispiel: \(x^2 - 6x + 8 = 0\)
Hier ist \(p = -6\) und \(q = 8\)
\(x_{1,2} = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 8}\)
\(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 8} = 3 \pm 1\)
\(x_1 = 4\) und \(x_2 = 2\)
Mitternachtsformel (abc-Formel)
Für Gleichungen der Form \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Beispiel: \(2x^2 + 4x - 6 = 0\)
\(a = 2, b = 4, c = -6\)
\(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{-4 \pm 8}{4}\)
\(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\)
Diskriminante
Der Ausdruck unter der Wurzel \(D = b^2 - 4ac\) heißt Diskriminante:
- \(D > 0\): Zwei verschiedene Nullstellen
- \(D = 0\): Eine doppelte Nullstelle
- \(D < 0\): Keine (reellen) Nullstellen
Übungen
Berechne die Nullstellen von \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
Wie viele Nullstellen hat \(x^2 + 4 = 0\)?
Berechne die Nullstellen von \(x^2 - 4x + 4 = 0\)