Normalform herstellen
Die PQ-Formel funktioniert nur für Gleichungen in Normalform:
Normalform
\(x^2 + px + q = 0\)
Der Koeffizient vor x² muss 1 sein!
Die PQ-Formel
PQ-Formel
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)
Die Diskriminante
Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl der Lösungen:
Diskriminante
\(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)
| Diskriminante | Lösungen |
|---|---|
| D > 0 | Zwei verschiedene Lösungen |
| D = 0 | Eine (doppelte) Lösung |
| D < 0 | Keine reelle Lösung |
Beispiel: x² - 6x + 5 = 0
p = -6, q = 5
1
\(x_{1,2} = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 5}\)
2
\(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm 2\)
✓
\(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\)
💡 Merke: Erst durch den Koeffizienten vor x² dividieren, um die Normalform zu erhalten!
Übungen
Teste jetzt dein Wissen mit interaktiven Aufgaben!
Aufgabe 1Leicht
In x² + 4x - 5 = 0: Was ist p und q?
Aufgabe 2Mittel
Löse: x² - 4x + 3 = 0
Aufgabe 3Schwer
Wie viele Lösungen hat x² + 2x + 5 = 0?
Dein Ergebnis
0 / 3 richtig