Überblick
Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form \(f(x) = a \cdot b^x\), wobei die Basis \(b > 0\) und \(b \neq 1\) ist. Der entscheidende Unterschied zu Potenzfunktionen: Die Variable steht im Exponenten, nicht in der Basis.
\(a \neq 0\) (Anfangswert), \(b > 0, b \neq 1\) (Basis/Wachstumsfaktor)
Wichtige Eigenschaften:
- \(b > 1\): exponentielles Wachstum (Funktion steigt)
- \(0 < b < 1\): exponentieller Zerfall (Funktion fällt)
- Der Graph hat immer eine waagrechte Asymptote bei \(y = 0\)
- Der y-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid a)\), denn \(f(0) = a \cdot b^0 = a\)
Potenz- vs. Exponentialfunktion
Der Unterschied liegt darin, wo die Variable \(x\) steht:
| Typ | Form | Beispiel | Variable steht... |
|---|---|---|---|
| Potenzfunktion | \(f(x) = a \cdot x^n\) | \(f(x) = 3x^2\) | in der Basis |
| Exponentialfunktion | \(f(x) = a \cdot b^x\) | \(f(x) = 3 \cdot 2^x\) | im Exponenten |
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2^x\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
Die Werte verdoppeln sich bei jedem Schritt – typisch für exponentielles Wachstum.
Anwendungen
Exponentialfunktionen treten in vielen Bereichen auf:
- Bevölkerungswachstum: \(N(t) = N_0 \cdot e^{\lambda t}\)
- Radioaktiver Zerfall: \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\)
- Zinseszins: \(K(t) = K_0 \cdot (1 + p)^t\)
- Abkühlung: Newton'sches Abkühlungsgesetz
Übungen
Teste dein Wissen über Exponentialfunktionen!
Welche der folgenden Funktionen ist eine Exponentialfunktion?
Was ist der y-Achsenabschnitt von \(f(x) = 3 \cdot 4^x\)?
Welche Funktion beschreibt exponentiellen Zerfall?
Alle Themen zu Exponentialfunktionen
Vertiefe dein Wissen mit diesen Spezialthemen:
Exponentialfunktion Grundlagen
f(x) = a·b^x, Basis, Wachstumsfaktor, Graph und Eigenschaften
Natürliche Exponentialfunktion
f(x) = e^x, Eulersche Zahl, besondere Eigenschaften
Exponentielles Wachstum & Zerfall
Wachstum (b > 1), Zerfall (0 < b < 1), reale Anwendungen
Halbwertszeit & Verdoppelungszeit
Berechnung, C-14-Datierung, Bakterienwachstum
Parameter der Exponentialfunktion
Einfluss von a, b und λ auf den Graphen
Exponentiell vs. Linear
Vergleich, Unterscheidung aus Tabelle und Graph