Die Formel
Für jede quadratische Gleichung in der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a \neq 0\) gilt:
Das \(\pm\) steht für zwei Rechnungen: einmal mit Plus, einmal mit Minus vor der Wurzel.
\(x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) und \(x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Der Ausdruck unter der Wurzel, \(b^2 - 4ac\), heißt Diskriminante. Ist er negativ, hat die Gleichung keine reelle Lösung; ist er 0, fallen \(x_1\) und \(x_2\) zusammen.
Wichtig beim Ablesen: \(a\), \(b\) und \(c\) sind die Zahlen mit ihrem Vorzeichen. In \(2x^2 - 8x + 6 = 0\) ist \(b = -8\), nicht \(8\). Steht die Gleichung noch nicht in der Form „alles auf einer Seite, rechts 0", muss sie zuerst dorthin gebracht werden.
Woher die Formel kommt: quadratische Ergänzung
Die Formel ist kein Zaubertrick, sondern das Ergebnis einer Umformung, die man für jede konkrete Gleichung genauso machen könnte. Die Idee: Die linke Seite so ergänzen, dass sie ein vollständiges Quadrat \((x + \text{etwas})^2\) wird - dann lässt sich die Wurzel ziehen.
Schritt 4 im Detail, weil er am häufigsten Fragen aufwirft: \(-\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}\) auf den gemeinsamen Nenner \(4a^2\) gebracht ergibt \(\frac{-4ac + b^2}{4a^2}\). Und \(\sqrt{4a^2} = 2a\), deshalb steht im Nenner der Formel \(2a\).
Vier Beispiele, alle Lösungsfälle
Probe für \(x_2 = -5\): \(2 \cdot 25 + 8 \cdot (-5) - 10 = 50 - 40 - 10 = 0\). Stimmt.
Das war absehbar: \(x^2 - 6x + 9\) ist die binomische Formel \((x - 3)^2\). Wer das erkennt, spart sich die Formel.
Genau hier zeigt sich der Vorteil der großen Formel: Mit der kleinen Lösungsformel hätte man zuerst durch 4 dividieren und dann mit \(p = 1\) und \(q = -\frac{3}{4}\) rechnen müssen - dasselbe Ergebnis, aber mehr Bruchrechnung unterwegs.
Große oder kleine Lösungsformel?
Beide Formeln liefern immer dasselbe Ergebnis - die kleine ist nur der Spezialfall der großen für \(a = 1\). Die Frage ist allein, welcher Weg weniger Rechenarbeit macht:
| Situation | Empfehlung | Grund |
|---|---|---|
| Vor \(x^2\) steht bereits eine 1 | Kleine Lösungsformel | Kürzer, weniger Terme |
| Vor \(x^2\) steht ein Faktor, durch den \(b\) und \(c\) glatt teilbar sind (etwa \(2x^2 - 8x + 6\)) | Beides gleich gut | Nach Division durch 2 bleibt alles ganzzahlig |
| Vor \(x^2\) steht ein Faktor, der Brüche erzeugen würde (etwa \(4x^2 + 4x - 3\)) | Große Lösungsformel | Keine Bruchrechnung vor dem Einsetzen |
| Negatives \(a\), etwa \(-x^2 + 4x - 3 = 0\) | Erst mit \(-1\) multiplizieren | Vermeidet Vorzeichenfehler im Nenner \(2a\) |
Die kleine Lösungsformel mit eigener Herleitung und Beispielen steht auf der Seite zur pq-Formel.
Typische Fehler
- \(-b\) bei negativem \(b\): Ist \(b = -5\), dann ist \(-b = +5\). Das Minus in der Formel und das Minus im Koeffizienten heben sich auf.
- \(b^2\) ist nie negativ: \((-6)^2 = 36\), nicht \(-36\). Wer beim Quadrieren das Vorzeichen mitnimmt, bekommt eine falsche Diskriminante.
- \(4ac\) mit negativem \(c\): \(-4 \cdot 2 \cdot (-10)\) ist \(+80\). Minus mal Minus wird Plus, die Diskriminante wird dadurch größer, nicht kleiner.
- Nur durch 2 statt durch \(2a\) dividieren: Der Nenner ist \(2a\). Bei \(a = 3\) also 6.
- Nur eine Lösung ausrechnen: Das \(\pm\) bedeutet zwei Rechnungen. Nur bei \(D = 0\) fallen sie zusammen.
Die zuverlässigste Kontrolle ist die Probe: Beide Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen. Ergibt sich nicht 0, steckt ein Fehler in der Rechnung. Schneller geht die Kontrolle mit dem Satz von Vieta: Für \(ax^2 + bx + c = 0\) gilt \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) und \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). In Beispiel 1: \(1 + (-5) = -4 = -\frac{8}{2}\) und \(1 \cdot (-5) = -5 = \frac{-10}{2}\).
Übungen
Welche Werte haben \(a\), \(b\) und \(c\) in \(3x^2 + 12x + 9 = 0\)?
Löse mit der großen Lösungsformel: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
Löse: \(2x^2 - 3x - 2 = 0\)
Wie viele reelle Lösungen hat \(3x^2 - 2x + 1 = 0\)?
Löse: \(-x^2 + 4x - 3 = 0\). Wie groß ist die Summe der beiden Lösungen?