Kleine Lösungsformel (pq-Formel): Herleitung, Beispiele, Fehler

Die Formel

Voraussetzung ist die Normalform - vor \(x^2\) steht nichts (also eine 1), alle Glieder stehen auf einer Seite, rechts steht 0:

Normalform

\(x^2 + px + q = 0\)

Kleine Lösungsformel

\(x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}\)

Steht vor \(x^2\) ein Faktor, muss die ganze Gleichung zuerst durch diesen Faktor dividiert werden. Aus \(2x^2 - 8x + 6 = 0\) wird \(x^2 - 4x + 3 = 0\), erst dann gilt \(p = -4\) und \(q = 3\). Wer den Faktor ignoriert, rechnet mit falschen Werten.

Woher die Formel kommt

Die kleine Lösungsformel ist nichts anderes als die quadratische Ergänzung, einmal allgemein durchgerechnet. Die Idee: Die linke Seite so ergänzen, dass ein vollständiges Quadrat entsteht - dann kann man die Wurzel ziehen.

Herleitung aus \(x^2 + px + q = 0\)

\(q\) auf die rechte Seite: \(x^2 + px = -q\)

Auf beiden Seiten \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\) addieren: \(x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)

Die linke Seite ist jetzt eine binomische Formel: \(\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)

Wurzel ziehen, mit beiden Vorzeichen: \(x + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)

\(\frac{p}{2}\) auf die andere Seite: \(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)

Warum ausgerechnet \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)? Weil \(\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2\) ist. Das mittlere Glied \(px\) ist schon da; es fehlt nur das Quadrat der Hälfte von \(p\). Wer diese Herleitung einmal selbst nachvollzogen hat, kann die Formel jederzeit wiederherstellen, statt sie auswendig zu lernen.

Vorgehen in fünf Schritten

Kleine Lösungsformel anwenden

Gleichung in Normalform bringen: alles auf eine Seite, vor \(x^2\) eine 1

\(p\) und \(q\) mit Vorzeichen ablesen

Diskriminante \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\) berechnen. Ist \(D < 0\): keine reelle Lösung, Rechnung beenden

\(x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{D}\) und \(x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{D}\) berechnen

Probe: beide Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen

Vier Beispiele, alle Lösungsfälle

Beispiel 1: Zwei Lösungen - \(x^2 - 6x + 5 = 0\)

Normalform liegt vor. Ablesen: \(p = -6\), \(q = 5\)

\(x_{1,2} = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 5} = 3 \pm \sqrt{9 - 5}\)

\(x_{1,2} = 3 \pm 2\), also \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\)

Probe für \(x_1 = 5\): \(25 - 30 + 5 = 0\). Für \(x_2 = 1\): \(1 - 6 + 5 = 0\). Beide stimmen.

Beispiel 2: Eine Doppellösung - \(x^2 + 4x + 4 = 0\)

\(p = 4\), \(q = 4\)

\(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 - 4} = -2 \pm 0\)

\(x_1 = x_2 = -2\). Die Diskriminante ist 0, die Parabel berührt die x-Achse in genau einem Punkt.

Auch hier hätte die binomische Formel gereicht: \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\), und ein Quadrat ist nur dann 0, wenn die Basis 0 ist.

Beispiel 3: Keine reelle Lösung - \(x^2 + 2x + 5 = 0\)

\(p = 2\), \(q = 5\)

\(D = 1 - 5 = -4\)

Negativ unter der Wurzel: in \(\mathbb{R}\) keine Lösung. Die Parabel \(y = x^2 + 2x + 5\) hat ihren Scheitel bei \((-1 \mid 4)\) und liegt ganz über der x-Achse.

Beispiel 4: Zuerst Normalform herstellen - \(2x^2 - 8x + 6 = 0\)

Durch 2 dividieren: \(x^2 - 4x + 3 = 0\)

\(p = -4\), \(q = 3\)

\(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 1\)

Die Division ändert die Lösungen nicht - \(2x^2 - 8x + 6 = 0\) und \(x^2 - 4x + 3 = 0\) haben dieselbe Lösungsmenge. Sie ändert nur, welche Zahlen man in die Formel einsetzt.

Kontrolle mit dem Satz von Vieta

Für die Normalform gilt: Die Summe der beiden Lösungen ist \(-p\), ihr Produkt ist \(q\). Das ist die schnellste Kontrolle, schneller als die Probe:

Satz von Vieta (Normalform)

\(x_1 + x_2 = -p \qquad x_1 \cdot x_2 = q\)

Kontrolle für Beispiel 1: \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\), \(p = -6\), \(q = 5\)

Summe: \(5 + 1 = 6 = -(-6)\). Produkt: \(5 \cdot 1 = 5 = q\). Beides passt.

Der Satz funktioniert auch rückwärts: Bei \(x^2 - 5x + 6 = 0\) sucht man zwei Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6 - das sind 2 und 3, ohne eine Wurzel zu ziehen. Mehr dazu beim Satz von Vieta.

Wann die große Lösungsformel besser ist

Steht vor \(x^2\) ein Faktor, durch den sich \(b\) und \(c\) nicht glatt teilen lassen, erzeugt die Normalform Brüche: Aus \(4x^2 + 4x - 3 = 0\) wird \(x^2 + x - \frac{3}{4} = 0\). Dann ist die große Lösungsformel \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) der kürzere Weg, weil sie direkt mit \(a\), \(b\) und \(c\) arbeitet. Beide Formeln liefern dieselben Lösungen; die kleine ist der Sonderfall der großen für \(a = 1\).

Die fünf häufigsten Fehler

Nicht in Normalform: Bei \(3x^2 + 6x + 3 = 0\) zuerst durch 3 dividieren. Sonst wird mit \(p = 6\) statt \(p = 2\) gerechnet.
Vorzeichen von \(p\) verschluckt: In \(x^2 - 6x + 5 = 0\) ist \(p = -6\). Das Minus gehört zum Koeffizienten.
Das Minus vor \(\frac{p}{2}\) übersehen: Die Formel beginnt mit \(-\frac{p}{2}\). Bei \(p = -6\) ergibt das \(+3\), bei \(p = 4\) ergibt das \(-2\).
Bei negativer Diskriminante weiterrechnen: Steht unter der Wurzel eine negative Zahl, gibt es in \(\mathbb{R}\) keine Lösung. Das ist ein Ergebnis, kein Rechenfehler.
Nur eine Lösung notieren: Das \(\pm\) liefert zwei Lösungen. Nur bei \(D = 0\) fallen sie zusammen.