pq-Formel (kleine Lösungsformel): Herleitung, Beispiele, Fehler

Die Formel

Voraussetzung ist die Normalform - vor \(x^2\) steht nichts (also eine 1), alle Glieder stehen auf einer Seite, rechts steht 0:

Normalform

\(x^2 + px + q = 0\)

pq-Formel (kleine Lösungsformel)

\(x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}\)

Steht vor \(x^2\) ein Faktor, muss die ganze Gleichung zuerst durch diesen Faktor dividiert werden. Aus \(2x^2 - 8x + 6 = 0\) wird \(x^2 - 4x + 3 = 0\), erst dann gilt \(p = -4\) und \(q = 3\). Wer den Faktor ignoriert, rechnet mit falschen Werten.

Woher die Formel kommt

Die pq-Formel ist nichts anderes als die quadratische Ergänzung, einmal allgemein durchgerechnet. Die Idee: Die linke Seite so ergänzen, dass ein vollständiges Quadrat entsteht - dann kann man die Wurzel ziehen.

Herleitung aus \(x^2 + px + q = 0\)

\(q\) auf die rechte Seite: \(x^2 + px = -q\)

Auf beiden Seiten \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\) addieren: \(x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)

Die linke Seite ist jetzt eine binomische Formel: \(\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)

Wurzel ziehen, mit beiden Vorzeichen: \(x + \frac{p}{2} = \pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)

\(\frac{p}{2}\) auf die andere Seite: \(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)

Warum ausgerechnet \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)? Weil \(\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2\) ist. Das mittlere Glied \(px\) ist schon da; es fehlt nur das Quadrat der Hälfte von \(p\). Wer diese Herleitung einmal selbst nachvollzogen hat, kann die Formel jederzeit wiederherstellen, statt sie auswendig zu lernen.

Vorgehen in fünf Schritten

pq-Formel anwenden

Gleichung in Normalform bringen: alles auf eine Seite, vor \(x^2\) eine 1

\(p\) und \(q\) mit Vorzeichen ablesen

Diskriminante \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\) berechnen. Ist \(D < 0\): keine reelle Lösung, Rechnung beenden

\(x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{D}\) und \(x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{D}\) berechnen

Probe: beide Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen

Vier Beispiele, alle Lösungsfälle

Beispiel 1: Zwei Lösungen - \(x^2 - 6x + 5 = 0\)

Normalform liegt vor. Ablesen: \(p = -6\), \(q = 5\)

\(x_{1,2} = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 5} = 3 \pm \sqrt{9 - 5}\)

\(x_{1,2} = 3 \pm 2\), also \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\)

Probe für \(x_1 = 5\): \(25 - 30 + 5 = 0\). Für \(x_2 = 1\): \(1 - 6 + 5 = 0\). Beide stimmen.

Beispiel 2: Eine Doppellösung - \(x^2 + 4x + 4 = 0\)

\(p = 4\), \(q = 4\)

\(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 - 4} = -2 \pm 0\)

\(x_1 = x_2 = -2\). Die Diskriminante ist 0, die Parabel berührt die x-Achse in genau einem Punkt.

Auch hier hätte die binomische Formel gereicht: \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\), und ein Quadrat ist nur dann 0, wenn die Basis 0 ist.

Beispiel 3: Keine reelle Lösung - \(x^2 + 2x + 5 = 0\)

\(p = 2\), \(q = 5\)

\(D = 1 - 5 = -4\)

Negativ unter der Wurzel: in \(\mathbb{R}\) keine Lösung. Die Parabel \(y = x^2 + 2x + 5\) hat ihren Scheitel bei \((-1 \mid 4)\) und liegt ganz über der x-Achse.

Beispiel 4: Zuerst Normalform herstellen - \(2x^2 - 8x + 6 = 0\)

Durch 2 dividieren: \(x^2 - 4x + 3 = 0\)

\(p = -4\), \(q = 3\)

\(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 1\)

Die Division ändert die Lösungen nicht - \(2x^2 - 8x + 6 = 0\) und \(x^2 - 4x + 3 = 0\) haben dieselbe Lösungsmenge. Sie ändert nur, welche Zahlen man in die Formel einsetzt.

Kontrolle mit dem Satz von Vieta

Für die Normalform gilt: Die Summe der beiden Lösungen ist \(-p\), ihr Produkt ist \(q\). Das ist die schnellste Kontrolle, schneller als die Probe:

Satz von Vieta (Normalform)

\(x_1 + x_2 = -p \qquad x_1 \cdot x_2 = q\)

Kontrolle für Beispiel 1: \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\), \(p = -6\), \(q = 5\)

Summe: \(5 + 1 = 6 = -(-6)\). Produkt: \(5 \cdot 1 = 5 = q\). Beides passt.

Der Satz funktioniert auch rückwärts: Bei \(x^2 - 5x + 6 = 0\) sucht man zwei Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6 - das sind 2 und 3, ohne eine Wurzel zu ziehen. Mehr dazu beim Satz von Vieta.

Wann die große Lösungsformel besser ist

Steht vor \(x^2\) ein Faktor, durch den sich \(b\) und \(c\) nicht glatt teilen lassen, erzeugt die Normalform Brüche: Aus \(4x^2 + 4x - 3 = 0\) wird \(x^2 + x - \frac{3}{4} = 0\). Dann ist die große Lösungsformel \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) der kürzere Weg, weil sie direkt mit \(a\), \(b\) und \(c\) arbeitet. Beide Formeln liefern dieselben Lösungen; die kleine ist der Sonderfall der großen für \(a = 1\).

Die fünf häufigsten Fehler

Nicht in Normalform: Bei \(3x^2 + 6x + 3 = 0\) zuerst durch 3 dividieren. Sonst wird mit \(p = 6\) statt \(p = 2\) gerechnet.
Vorzeichen von \(p\) verschluckt: In \(x^2 - 6x + 5 = 0\) ist \(p = -6\). Das Minus gehört zum Koeffizienten.
Das Minus vor \(\frac{p}{2}\) übersehen: Die Formel beginnt mit \(-\frac{p}{2}\). Bei \(p = -6\) ergibt das \(+3\), bei \(p = 4\) ergibt das \(-2\).
Bei negativer Diskriminante weiterrechnen: Steht unter der Wurzel eine negative Zahl, gibt es in \(\mathbb{R}\) keine Lösung. Das ist ein Ergebnis, kein Rechenfehler.
Nur eine Lösung notieren: Das \(\pm\) liefert zwei Lösungen. Nur bei \(D = 0\) fallen sie zusammen.