Die Normalform

Eine quadratische Gleichung in Normalform sieht so aus:

Normalform
\(x^2 + px + q = 0\)

Wichtig: Vor \(x^2\) muss eine 1 stehen. Wenn nicht, teile die ganze Gleichung durch den Koeffizienten vor \(x^2\).

Die PQ-Formel

Die PQ-Formel löst jede quadratische Gleichung in Normalform:

PQ-Formel
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)
Beispiel: \(x^2 - 6x + 5 = 0\)

Hier ist p = -6 und q = 5

1
\(x_{1,2} = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 5}\)
2
\(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm \sqrt{4}\)
3
\(x_1 = 3 + 2 = 5\) und \(x_2 = 3 - 2 = 1\)

Die Diskriminante

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante (D):

Diskriminante
\(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)
Diskriminante Lösungen
D > 0 2 verschiedene Lösungen
D = 0 1 Lösung (Doppellösung)
D < 0 Keine Lösung (in ℝ)

💡 Tipp: Prüfe immer zuerst die Diskriminante, bevor du rechnest!

Übungen

Teste jetzt dein Wissen mit interaktiven Aufgaben!

Aufgabe 1 Leicht

Löse: \(x^2 - 4 = 0\)

Aufgabe 2 Mittel

Löse mit der PQ-Formel: \(x^2 + 2x - 8 = 0\)

Aufgabe 3 Schwer

Wie viele Lösungen hat \(x^2 + 4x + 5 = 0\)?

🎯 Dein Ergebnis
0 / 3 richtig