Wie ein Zahlenstrahl aufgebaut ist
Ein Zahlenstrahl besteht aus vier Dingen: einem Nullpunkt am linken Ende, einem Pfeil am rechten Ende, der zeigt, dass es immer weitergeht, gleich langen Abständen zwischen den Zahlen und den Teilstrichen mit ihren Beschriftungen. Der Abstand von 0 bis 1 heißt Einheit. Alle anderen Abstände müssen genauso lang sein, sonst ist es kein Zahlenstrahl, sondern nur eine Linie mit Zahlen.
Der Pfeil ist kein Schmuck. Er sagt, dass der Zahlenstrahl kein Ende hat: Hinter der 10 kommt die 11, hinter einer Million die nächste Zahl. Im Lehrplan der 1. Klasse steht das Darstellen von Zahlen als Punkte am Zahlenstrahl ganz vorne, noch vor dem schriftlichen Rechnen - weil fast alles Spätere darauf aufbaut: das Vergleichen, das Runden, die Brüche und in der 2. Klasse die negativen Zahlen.
Die richtige Einteilung wählen
Bei Zahlen bis 10 ist die Sache klar: eine Einheit pro Zahl, zum Beispiel 1 cm. Bei größeren Zahlen muss die Einheit größer werden, sonst reicht das Blatt nicht. Die Regel: Die größte Zahl, die eingetragen werden soll, muss Platz haben.
| Zahlen bis | Beschriftete Striche | 1 cm entspricht | Beispiel |
|---|---|---|---|
| 10 | 0, 1, 2, ..., 10 | 1 | 7 liegt bei 7 cm |
| 100 | 0, 10, 20, ..., 100 | 10 | 70 liegt bei 7 cm, 75 bei 7,5 cm |
| 1.000 | 0, 100, 200, ..., 1.000 | 100 | 350 liegt bei 3,5 cm |
| 10.000 | 0, 1.000, ..., 10.000 | 1.000 | 4.200 liegt bei 4,2 cm |
Die Zahl 95 zeigt, warum die Einteilung so wichtig ist: Auf einem Strahl bis 1.000 liegt sie fast auf der 100, auf einem Strahl bis 100 liegt sie deutlich sichtbar zwischen 90 und 100. Beides ist richtig, nur die Genauigkeit ist verschieden.
Zahlen eintragen und ablesen
Oft sind nicht alle Striche beschriftet, sondern nur jeder fünfte oder zehnte. Dann muss man zuerst herausfinden, wie viel ein Teilstrich wert ist: Man nimmt zwei beschriftete Striche, rechnet den Unterschied aus und teilt ihn durch die Anzahl der Abschnitte dazwischen.
Der häufigste Fehler beim Ablesen ist, die Striche zu zählen statt die Abschnitte: Vier Striche zwischen 40 und 50 ergeben fünf Abschnitte, nicht vier. Wer durch 4 teilt, rechnet mit 2,5 pro Strich und liest 47,5 ab.
Dezimalzahlen und Brüche am Zahlenstrahl
Zwischen zwei natürlichen Zahlen ist der Zahlenstrahl nicht leer. Teilt man die Einheit zwischen 2 und 3 in zehn gleiche Teile, liegen dort 2,1; 2,2; 2,3 und so weiter; die 2,5 sitzt genau in der Mitte. Brüche haben denselben Platz wie die gleich große Dezimalzahl: \(\frac{1}{2}\) liegt bei 0,5, \(\frac{3}{4}\) bei 0,75 und \(1\frac{1}{2}\) bei 1,5.
Dabei zeigt sich ein Unterschied zwischen den Zahlbereichen, den der Lehrplan der 2. Klasse ausdrücklich verlangt: Bei den natürlichen Zahlen hat jede Zahl einen Nachfolger, nach der 2 kommt die 3 und dazwischen liegt nichts. Bei Dezimalzahlen und Brüchen gibt es keinen Nachfolger: Zwischen 2 und 2,1 liegt 2,05, dazwischen 2,025, und so geht es endlos weiter. Zwischen zwei Brüchen liegen immer unendlich viele weitere Brüche. Mehr dazu bei den rationalen Zahlen.
Zahlengerade: die negativen Zahlen kommen dazu
In der 2. Klasse kommen die ganzen Zahlen dazu, also auch −1, −2, −3. Dafür wird der Zahlenstrahl nach links über die 0 hinaus verlängert. Jetzt gibt es keinen Anfang mehr, sondern an beiden Enden einen Pfeil - und die Linie heißt nicht mehr Zahlenstrahl, sondern Zahlengerade. Der Lehrplan verwendet die beiden Wörter genau so: Zahlenstrahl in der 1. Klasse, Zahlengerade ab den ganzen Zahlen.
Für das Vergleichen gilt weiterhin: Weiter rechts ist größer. Das führt bei negativen Zahlen zu etwas, das am Anfang falsch aussieht: \(-5 < -2\), obwohl 5 größer als 2 ist. Auf der Zahlengeraden liegt −5 aber links von −2. Wer an Temperaturen denkt, hat es leichter: −5 °C ist kälter als −2 °C.
Plus heißt nach rechts, minus heißt nach links. Diese Deutung steht so im Lehrplan der 2. Klasse, und sie erklärt, warum \(2 - 5\) überhaupt ein Ergebnis hat: Links von der 0 geht es einfach weiter. Alle Rechenregeln für Plus und Minus stehen bei den negativen Zahlen.
Vergleichen und Ordnen mit dem Zahlenstrahl
Sollen mehrere Zahlen der Größe nach geordnet werden, trägt man sie ein und liest von links nach rechts ab. Bei Brüchen und Dezimalzahlen hilft es, vorher alle in dieselbe Schreibweise zu bringen.
Wer 0,55 für größer als 0,8 hält, weil 55 größer als 8 ist, vergleicht Ziffern statt Zahlen. Am Zahlenstrahl liegt 0,8 bei acht Zehnteln, 0,55 erst bei fünfeinhalb Zehnteln - deutlich weiter links.
Die häufigsten Fehler
- Ungleiche Abstände: Wenn zwischen 3 und 4 mehr Platz ist als zwischen 1 und 2, stimmt nichts mehr. Vor dem Beschriften die Einheit mit dem Lineal festlegen.
- Die 0 vergessen: Der Zahlenstrahl beginnt bei 0, nicht bei 1. Wer bei 1 anfängt, trägt alle Zahlen um eine Einheit zu weit links ein.
- Striche statt Abschnitte gezählt: Vier kleine Striche zwischen zwei Zehnern ergeben fünf Abschnitte zu je 2, nicht vier zu je 2,5.
- Bruch am falschen Platz: \(\frac{3}{4}\) liegt zwischen 0 und 1, nicht bei 3 und nicht bei 4. Ein Bruch mit kleinerem Zähler als Nenner ist immer kleiner als 1.
- Negative Zahlen verkehrt geordnet: −10 ist kleiner als −2, weil es weiter links liegt.
- Pfeil weggelassen: Ohne Pfeil sieht es so aus, als wäre bei der letzten Zahl Schluss. Der Zahlenstrahl geht immer weiter.
Übungen
Welche Zahl liegt genau in der Mitte zwischen 40 und 60?
Auf einem Zahlenstrahl sind nur die Zehner beschriftet. Zwischen 20 und 30 stehen 4 kleine Striche. Wie viel ist ein kleiner Strich wert?
Welche Zahl liegt am Zahlenstrahl weiter rechts: 0,7 oder \(\frac{3}{4}\)?
Ein Zahlenstrahl geht von 0 bis 1.000, 1 cm entspricht 100. Wie weit vom Nullpunkt liegt die Zahl 450?
Welche Zahl ist kleiner: −7 oder −3?
Du startest bei −2 und gehst auf der Zahlengeraden 6 Schritte nach rechts. Wo landest du?
Zwischen 2 und 3 ist der Zahlenstrahl durch 9 kleine Striche in Zehntel geteilt. Welche Zahl steht am 4. kleinen Strich nach der 2?