Die vier Arten von Intervallen
Ein Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen zwischen zwei Grenzen \(a\) und \(b\) mit \(a < b\). Ob die Grenzen selbst dazugehören, zeigt die Klammer: eckig heißt dabei, rund heißt nicht dabei.
| Bezeichnung | Schreibweise | Als Ungleichung | Am Zahlenstrahl |
|---|---|---|---|
| geschlossen | \([a;\, b]\) | \(a \leq x \leq b\) | beide Endpunkte ausgefüllt |
| offen | \((a;\, b)\) | \(a < x < b\) | beide Endpunkte als leere Kreise |
| links offen, rechts geschlossen | \((a;\, b]\) | \(a < x \leq b\) | links leer, rechts ausgefüllt |
| links geschlossen, rechts offen | \([a;\, b)\) | \(a \leq x < b\) | links ausgefüllt, rechts leer |
Dieselbe Menge in Mengenschreibweise: \([2;\, 5] = \{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x \leq 5\}\) - „alle reellen \(x\), für die \(2 \leq x \leq 5\) gilt". Die Intervallschreibweise ist die Kurzform davon.
Zu \([2;\, 5]\) gehören 2, 3,7 und 5. Zu \((2;\, 5)\) gehören 3,7 und auch 4,999, aber weder 2 noch 5. Nicht dazu gehören in beiden Fällen 1,9 und 5,1. In Zeichen: \(5 \in [2;\, 5]\), aber \(5 \notin (2;\, 5)\).
Zwei Schreibweisen für offene Ränder: Neben der runden Klammer \((2;\, 5)\) verwenden manche Schulbücher nach außen gedrehte eckige Klammern: \(]2;\, 5[\). Beides bedeutet dasselbe. Als Trennzeichen zwischen den Grenzen steht in Österreich meist ein Strichpunkt, weil das Komma in Dezimalzahlen wie 3,7 vorkommt - \((2,5;\, 3,7)\) wäre mit Kommas unlesbar.
Intervalle ohne Ende
Fehlt eine Grenze, steht dort \(\infty\) oder \(-\infty\). Unendlich ist keine Zahl und kann deshalb nie „dazugehören" - neben \(\infty\) steht immer eine runde Klammer:
| Schreibweise | Als Ungleichung | In Worten |
|---|---|---|
| \([a;\, \infty)\) | \(x \geq a\) | alle Zahlen ab \(a\), \(a\) eingeschlossen |
| \((a;\, \infty)\) | \(x > a\) | alle Zahlen größer als \(a\) |
| \((-\infty;\, b]\) | \(x \leq b\) | alle Zahlen bis \(b\), \(b\) eingeschlossen |
| \((-\infty;\, b)\) | \(x < b\) | alle Zahlen kleiner als \(b\) |
| \((-\infty;\, \infty)\) | - | alle reellen Zahlen, \(\mathbb{R}\) |
Die positiven Zahlen sind \((0;\, \infty)\) - die Null ist nicht positiv und deshalb ausgeschlossen. Die nichtnegativen Zahlen, also mit Null, sind \([0;\, \infty)\). Dieser Unterschied ist etwa bei der Wurzelfunktion wichtig, deren Definitionsmenge \([0;\, \infty)\) ist.
Durchschnitt und Vereinigung
Intervalle sind Mengen und lassen sich wie Mengen verknüpfen. Der Durchschnitt \(\cap\) enthält, was in beiden liegt; die Vereinigung \(\cup\) enthält, was in mindestens einem liegt:
- \([1;\, 5] \cap [3;\, 8] = [3;\, 5]\) - der gemeinsame Teil
- \([1;\, 5] \cup [3;\, 8] = [1;\, 8]\) - die Intervalle überlappen, das Ergebnis ist wieder ein Intervall
- \([1;\, 3] \cup [5;\, 8]\) bleibt so stehen - zwischen 3 und 5 ist eine Lücke, das Ergebnis ist kein einzelnes Intervall
- \([1;\, 3] \cap [5;\, 8] = \{\}\) - kein gemeinsames Element, die leere Menge
Am Zahlenstrahl sieht man beides sofort: Für den Durchschnitt markiert man beide Intervalle und behält nur den doppelt markierten Bereich; für die Vereinigung alles, was mindestens einmal markiert ist.
Intervalle als Lösungsmengen
Der Hauptzweck der Schreibweise: Die Lösung einer Ungleichung ist fast immer ein Intervall oder eine Vereinigung von Intervallen.
Bei Betragsungleichungen kommt die Abstands-Deutung dazu: \(|x - a| < b\) sind alle Zahlen, deren Abstand zu \(a\) kleiner als \(b\) ist - das Intervall \((a - b;\, a + b)\). Etwa \(|x - 3| < 2\), also \((1;\, 5)\). Ausführlich mit beiden Fällen: Betragsungleichungen; die Umformungsregeln: Ungleichungen.
Typische Fehler
- Eckige Klammer bei \(\infty\): \([3;\, \infty]\) gibt es nicht. Unendlich ist keine Zahl, die dazugehören könnte.
- Grenzen vertauscht: Die kleinere Zahl steht links. \((5;\, 2)\) ist kein Intervall.
- Klammer nicht zur Ungleichung passend: \(x \geq 3\) ist \([3;\, \infty)\), nicht \((3;\, \infty)\). Das Gleichheitszeichen unter dem \(\geq\) verlangt die eckige Klammer.
- Getrennte Bereiche zu einem Intervall zusammenziehen: \(x < -3\) oder \(x > 3\) ist \((-\infty;\, -3) \cup (3;\, \infty)\), nicht \((-3;\, 3)\) - das wäre genau das Gegenteil.
- Null als positive Zahl: Die positiven Zahlen sind \((0;\, \infty)\), ohne die Null.
Übungen
Was bedeutet \([2;\, 5]\)?
Welche Zahl liegt im Intervall \((2;\, 5]\)?
Wie schreibt man „alle positiven Zahlen" als Intervall?
Was ist \([1;\, 6] \cap [4;\, 9]\)?
Welche Lösungsmenge hat \(-2x + 6 \leq 10\)?
Was ist die Lösungsmenge von \(|x - 3| < 2\)?