Strategie: Sinussatz oder Cosinussatz?

Der wichtigste Schritt bei jeder Dreiecksberechnung ist die Wahl der richtigen Formel. Hier ist dein Entscheidungsbaum:

Entscheidungsregel:

  1. Kennst du ein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel? → Sinussatz
  2. Kennst du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS)? → Cosinussatz
  3. Kennst du alle drei Seiten (SSS)? → Cosinussatz
  4. Kennst du zwei Winkel? → Berechne den dritten (\(\gamma = 180° - \alpha - \beta\)), dann Sinussatz
GegebenFormelErster Schritt
SSSCosinussatzGrößten Winkel berechnen
SWSCosinussatzFehlende Seite berechnen
WSW / WWSSinussatzDritten Winkel aus Winkelsumme, dann Sinussatz
SSWSinussatzFehlenden Winkel berechnen (Achtung: mehrdeutig!)

Dreieck vollständig lösen

„Ein Dreieck vollständig lösen" bedeutet, alle 6 Größen (3 Seiten, 3 Winkel) zu bestimmen. Hier ein vollständiges Beispiel:

Beispiel: SWS -- a = 11 cm, b = 8 cm, γ = 55°

Schritt 1: Seite c mit Cosinussatz

1
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) = 121 + 64 - 176 \cdot \cos(55°)\)
\(c^2 = 185 - 176 \cdot 0{,}574 = 185 - 101{,}0 = 84{,}0\)
\(c = \sqrt{84{,}0} \approx 9{,}17\) cm

Schritt 2: Winkel α mit Sinussatz

2
\(\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\gamma)}{c}\) → \(\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{11 \cdot \sin(55°)}{9{,}17} = \frac{11 \cdot 0{,}819}{9{,}17} = 0{,}983\)
\(\alpha = \sin^{-1}(0{,}983) \approx 79{,}4°\)

Schritt 3: Winkel β aus Winkelsumme

3
\(\beta = 180° - \alpha - \gamma = 180° - 79{,}4° - 55° = 45{,}6°\)

Kontrolle: Prüfe am Ende, ob die Winkelsumme 180° ergibt und ob der größte Winkel der längsten Seite gegenüberliegt. Kleine Rundungsfehler (± 0,1°) sind normal.

Praxisbeispiel: Vermessung

Grundstücksvermessung

Ein dreieckiges Grundstück hat die Seitenlängen \(a = 45\) m, \(b = 62\) m und \(c = 38\) m. Berechne alle Winkel und den Flächeninhalt.

1
Größten Winkel \(\beta\) berechnen (gegenüber der längsten Seite \(b = 62\)):
\(\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{2025 + 1444 - 3844}{2 \cdot 45 \cdot 38} = \frac{-375}{3420} = -0{,}1096\)
\(\beta = \cos^{-1}(-0{,}1096) \approx 96{,}3°\)
2
Winkel \(\alpha\) mit Sinussatz:
\(\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{b} = \frac{45 \cdot \sin(96{,}3°)}{62} = \frac{45 \cdot 0{,}994}{62} = 0{,}7215\)
\(\alpha \approx 46{,}2°\)
3
Winkel \(\gamma\): \(\gamma = 180° - 96{,}3° - 46{,}2° = 37{,}5°\)
4
Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 38 \cdot \sin(96{,}3°) \approx 849\) m\(^2\)
Kursberechnung

Ein Schiff fährt 12 km nach Nordosten (Kurs 40°), ändert dann den Kurs um 65° nach rechts und fährt weitere 8 km. Wie weit ist es vom Startpunkt entfernt?

1
Dreieck identifizieren: Start \(A\), Wendepunkt \(B\), Endpunkt \(C\).
Seite \(AB = 12\) km, Seite \(BC = 8\) km.
Der Innenwinkel bei \(B\): \(\beta = 180° - 65° = 115°\) (Supplementwinkel zur Kursänderung)
2
Cosinussatz:
\(AC^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos(115°)\)
\(AC^2 = 144 + 64 - 192 \cdot (-0{,}423) = 208 + 81{,}2 = 289{,}2\)
\(AC \approx 17{,}0\) km

Praxistipp: Bei Navigationsaufgaben musst du oft den Kurswinkel (von Nord im Uhrzeigersinn) in den Innenwinkel des Dreiecks umrechnen. Der Innenwinkel ist häufig das Supplement (180° − Kursänderung).

Übungen

Wende dein Wissen auf verschiedene Dreiecksaufgaben an!

Aufgabe 1Leicht

Gegeben: \(a = 5\), \(b = 7\), \(\gamma = 60°\). Welche Formel verwendest du zuerst?

Aufgabe 2Leicht

Gegeben: \(\alpha = 50°\), \(\beta = 70°\), \(a = 12\). Was ist der erste Schritt?

Aufgabe 3Mittel

Dreieck mit \(a = 5\), \(b = 7\), \(\gamma = 60°\). Berechne \(c\). (gerundet)

Aufgabe 4Schwer

Ein Grundstück hat die Seiten 30 m, 40 m und 50 m. Wie groß ist der Flächeninhalt?

Aufgabe 5Schwer

Ein Wanderer geht 5 km nach Osten, biegt dann um 45° nach links ab (Richtung Nordost) und geht 3 km weiter. Wie weit ist er vom Start entfernt? (gerundet)

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