Die Formel

In jedem Dreieck mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und den gegenüberliegenden Winkeln \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) gilt:

Sinussatz
\(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\)

Das Verhältnis von Seite zu Sinus des Gegenwinkels ist in jedem Dreieck konstant.

Die Gleichung kann auch umgekehrt geschrieben werden:

Alternative Form
\(\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c}\)

Diese Form ist praktischer, wenn du Winkel suchst.

Merke: Jede Seite steht immer dem zugehörigen Winkel gegenüber: Seite \(a\) liegt gegenüber von Winkel \(\alpha\), Seite \(b\) gegenüber von \(\beta\), Seite \(c\) gegenüber von \(\gamma\).

Wann verwende ich den Sinussatz?

Der Sinussatz eignet sich, wenn du ein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel kennst, plus eine weitere Größe:

FallGegebenBeispielLösung
WSW Zwei Winkel und die eingeschlossene Seite \(\alpha = 50°\), \(\beta = 70°\), \(c = 8\) Eindeutig
WWS Zwei Winkel und eine nicht-eingeschlossene Seite \(\alpha = 40°\), \(\beta = 60°\), \(a = 5\) Eindeutig
SsW Zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite \(a = 7\), \(b = 5\), \(\alpha = 80°\) Eindeutig
SSW* Zwei Seiten und der Gegenwinkel der kleineren Seite \(a = 5\), \(b = 7\), \(\alpha = 40°\) Mehrdeutig!

Faustregel: Wenn du zwei Winkel kennst, berechne zuerst den dritten mit der Winkelsumme: \(\gamma = 180° - \alpha - \beta\). Dann verwende den Sinussatz.

Beispielrechnungen

Beispiel 1: Fehlende Seite berechnen (WWS)

Gegeben: \(\alpha = 45°\), \(\beta = 75°\), \(a = 10\) cm. Gesucht: Seite \(b\).

1
Sinussatz aufstellen: \(\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}\)
2
Nach b umformen: \(b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}\)
3
Einsetzen: \(b = \frac{10 \cdot \sin(75°)}{\sin(45°)} = \frac{10 \cdot 0{,}966}{0{,}707} \approx 13{,}66\) cm
Beispiel 2: Fehlenden Winkel berechnen

Gegeben: \(a = 8\) cm, \(b = 6\) cm, \(\alpha = 50°\). Gesucht: Winkel \(\beta\).

1
Sinussatz: \(\frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\alpha)}{a}\)
2
Nach \(\sin(\beta)\) umformen: \(\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a} = \frac{6 \cdot \sin(50°)}{8}\)
3
Berechnen: \(\sin(\beta) = \frac{6 \cdot 0{,}766}{8} = 0{,}5745\)
4
Arcussinus: \(\beta = \sin^{-1}(0{,}5745) \approx 35{,}1°\)

Der mehrdeutige Fall (SSW)

Wenn zwei Seiten und der Gegenwinkel der kürzeren Seite gegeben sind, kann es zwei Lösungen geben. Das liegt daran, dass der Arcussinus zwei mögliche Winkel liefert:

Achtung: Wenn \(\sin(\beta) = k\), dann gilt \(\beta_1 = \sin^{-1}(k)\) oder \(\beta_2 = 180° - \sin^{-1}(k)\). Beide Möglichkeiten müssen geprüft werden!

Prüfregel: Die zweite Lösung \(\beta_2 = 180° - \beta_1\) ist nur gültig, wenn \(\alpha + \beta_2 < 180°\) (die Winkelsumme darf 180° nicht überschreiten).

Es gibt drei mögliche Ausgänge:

  • Keine Lösung: \(\sin(\beta) > 1\) -- kein Dreieck möglich
  • Genau eine Lösung: \(\beta_2\) ergibt zusammen mit \(\alpha\) mehr als 180°
  • Zwei Lösungen: Beide \(\beta\)-Werte ergeben gültige Dreiecke

Übungen

Teste dein Wissen zum Sinussatz!

Aufgabe 1Leicht

Wie lautet der Sinussatz?

Aufgabe 2Leicht

Wann verwendest du den Sinussatz?

Aufgabe 3Mittel

In einem Dreieck gilt: \(\alpha = 40°\), \(\beta = 80°\), \(a = 7\) cm. Berechne Seite \(b\). (gerundet)

Aufgabe 4Mittel

Gegeben: \(a = 12\), \(b = 9\), \(\alpha = 65°\). Was ist \(\sin(\beta)\)? (gerundet)

Aufgabe 5Schwer

Wann kann der Sinussatz zwei Lösungen liefern?

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