Herleitung aus der Grundformel
Die klassische Flächenformel für Dreiecke lautet:
g = Grundseite, h = zugehörige Höhe
Betrachte ein Dreieck mit den Seiten \(a\) und \(b\) und dem eingeschlossenen Winkel \(\gamma\). Die Höhe \(h_c\) auf die Seite \(a\) lässt sich mit dem Sinus berechnen:
Warum funktioniert das? Im rechtwinkligen Teildreieck gilt \(\sin(\gamma) = \frac{h}{b}\), also \(h = b \cdot \sin(\gamma)\). Das gilt sowohl für spitze als auch für stumpfe Winkel \(\gamma\).
Die Formel und ihre Varianten
Je nachdem, welche zwei Seiten und welcher eingeschlossene Winkel bekannt sind, gibt es drei gleichwertige Varianten:
\(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta)\)
\(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha)\)
Der Winkel muss immer der von den beiden Seiten eingeschlossene Winkel sein!
Merke: Der Winkel in der Formel ist immer der Winkel zwischen den beiden angegebenen Seiten. Wenn z. B. die Seiten \(a\) und \(b\) gegeben sind, ist der eingeschlossene Winkel \(\gamma\) (der Winkel bei Eckpunkt C).
Wann verwende ich diese Formel?
Die trigonometrische Flächenformel ist besonders nützlich, wenn die Höhe nicht bekannt ist. Du brauchst:
- Zwei Seiten des Dreiecks
- Den eingeschlossenen Winkel (den Winkel zwischen diesen zwei Seiten)
| Formel | Benötigte Angaben | Wann verwenden? |
|---|---|---|
| \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\) | Grundseite und Höhe | Wenn die Höhe bekannt oder leicht berechenbar ist |
| \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\) | Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel | Wenn kein rechter Winkel und keine Höhe bekannt |
| Heron'sche Formel | Drei Seiten | Wenn nur die drei Seitenlängen bekannt sind |
Beispielrechnungen
Gegeben: \(a = 8\) cm, \(b = 6\) cm, \(\gamma = 50°\)
Gegeben: \(b = 10\) cm, \(c = 7\) cm, \(\alpha = 120°\)
Beachte: Die Formel funktioniert auch für stumpfe Winkel (> 90°), da \(\sin(\alpha) > 0\) für alle Winkel zwischen 0° und 180°.
Übungen
Teste dein Wissen zur trigonometrischen Flächenformel!
Wie lautet die trigonometrische Flächenformel für ein Dreieck mit den Seiten \(a\), \(b\) und dem eingeschlossenen Winkel \(\gamma\)?
Welche Angaben brauchst du, um die trigonometrische Flächenformel anwenden zu können?
Berechne den Flächeninhalt: \(a = 10\) cm, \(b = 12\) cm, \(\gamma = 30°\).
Ein Dreieck hat die Seiten \(b = 9\) cm, \(c = 14\) cm und den Winkel \(\alpha = 110°\). Wie groß ist der Flächeninhalt? (gerundet)