Lösungsstrategie für Textaufgaben

Anwendungsaufgaben in der Trigonometrie folgen immer einem ähnlichen Muster. Mit dieser Schritt-für-Schritt-Strategie löst du jede Aufgabe:

5-Schritte-Strategie:

  1. Skizze zeichnen -- Zeichne die Situation und beschrifte alle bekannten Größen
  2. Dreieck identifizieren -- Finde das rechtwinklige (oder allgemeine) Dreieck in der Aufgabe
  3. Gegeben/Gesucht -- Schreibe auf, welche Seiten und Winkel bekannt bzw. gesucht sind
  4. Formel wählen -- Wähle die passende Formel (sin, cos, tan, Sinussatz, Kosinussatz)
  5. Berechnen und Antwort -- Löse die Gleichung und formuliere die Antwort im Sachzusammenhang

Höhen messen

Eine der häufigsten Anwendungen: Du stehst in einer bestimmten Entfernung von einem Gebäude oder Baum und misst den Elevationswinkel (Blickwinkel nach oben).

Beispiel: Höhe eines Gebäudes

Du stehst 30 m von einem Gebäude entfernt. Der Blickwinkel zur Gebäudespitze beträgt 58°. Deine Augenhöhe ist 1,70 m. Wie hoch ist das Gebäude?

1
Skizze: Rechtwinkliges Dreieck mit Ankathete = 30 m (Entfernung), Gegenkathete = gesuchte Höhe über Augenhöhe, Winkel = 58°
2
Formel wählen: Gegenkathete und Ankathete \(\Rightarrow\) Tangens: \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
3
Einsetzen: \(\tan(58°) = \frac{h}{30}\), also \(h = 30 \cdot \tan(58°) = 30 \cdot 1{,}600 = 48{,}0\) m
4
Augenhöhe addieren: \(H = 48{,}0 + 1{,}70 = 49{,}7\) m

Tipp: Vergiss nie die Augenhöhe zu addieren! Die trigonometrische Berechnung liefert nur die Höhe über deinem Blickpunkt.

Entfernungen berechnen

Wenn du eine Entfernung nicht direkt messen kannst (z. B. über einen Fluss oder See), hilft die Trigonometrie weiter.

Beispiel: Flussbreite bestimmen

Von Punkt A am Flussufer peilst du einen Baum B am anderen Ufer an. Du gehst 40 m am Ufer entlang zu Punkt C. Von C aus beträgt der Winkel zum Baum B genau 62°. Wie breit ist der Fluss?

1
Dreieck: Rechtwinkliger Winkel bei A (Blickrichtung senkrecht zum Ufer). Ankathete AC = 40 m, Winkel bei C = 62°, Gegenkathete AB = Flussbreite
2
Formel: \(\tan(62°) = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{40}\)
3
Berechnen: \(AB = 40 \cdot \tan(62°) = 40 \cdot 1{,}880 \approx 75{,}2\) m
Beispiel: Entfernung mit Sinussatz

Von zwei Beobachtungspunkten A und B (Abstand 200 m) wird ein Berggipfel C angepeilt. Die Winkel betragen \(\alpha = 72°\) und \(\beta = 63°\). Wie weit ist der Gipfel von Punkt A?

1
Winkel \(\gamma\) berechnen: \(\gamma = 180° - 72° - 63° = 45°\)
2
Sinussatz: \(\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\), also \(\frac{AC}{\sin(63°)} = \frac{200}{\sin(45°)}\)
3
Berechnen: \(AC = \frac{200 \cdot \sin(63°)}{\sin(45°)} = \frac{200 \cdot 0{,}891}{0{,}707} \approx 252{,}1\) m

Steigungen und Neigungswinkel

In der Technik und im Alltag begegnest du Steigungsproblemen: Rampen, Straßen, Dächer oder Leitern.

Zusammenhang Steigung und Winkel
\(\tan(\alpha) = \frac{\text{Höhe}}{\text{horizontale Strecke}} = \text{Steigung}\)

Eine Steigung von 15 % bedeutet: auf 100 m Horizontalstrecke steigt die Straße um 15 m.

Beispiel: Leiter an der Wand

Eine 6 m lange Leiter wird so an eine Wand gelehnt, dass sie einen Winkel von 72° mit dem Boden bildet. Wie hoch reicht sie an der Wand?

1
Gegeben: Hypotenuse (Leiter) = 6 m, Winkel = 72°, gesucht: Gegenkathete (Höhe)
2
Formel: \(\sin(72°) = \frac{h}{6}\), also \(h = 6 \cdot \sin(72°)\)
3
Berechnen: \(h = 6 \cdot 0{,}951 \approx 5{,}71\) m

Sicherheitsregel: Leitern sollten in einem Winkel von 65° bis 75° zur Horizontalen aufgestellt werden. Zu steil (> 75°) kippt leicht um, zu flach (< 65°) rutscht am Boden weg.

Übungen

Löse diese Anwendungsaufgaben Schritt für Schritt!

Aufgabe 1Leicht

Was ist der erste Schritt bei einer trigonometrischen Textaufgabe?

Aufgabe 2Mittel

Du stehst 50 m von einem Turm entfernt und misst einen Elevationswinkel von 40°. Deine Augenhöhe ist 1,60 m. Wie hoch ist der Turm? (gerundet)

Aufgabe 3Mittel

Eine Straße hat eine Steigung von 12 %. Welchen Neigungswinkel hat sie? (gerundet)

Aufgabe 4Schwer

Eine 5 m lange Leiter lehnt in einem Winkel von 70° an einer Wand. Wie weit ist der Fuß der Leiter von der Wand entfernt? (gerundet)

Aufgabe 5Schwer

Von zwei Punkten A und B (Abstand 100 m) wird ein Kirchturm C angepeilt. Winkel bei A: \(\alpha = 68°\), Winkel bei B: \(\beta = 74°\). Wie weit ist C von A entfernt? (gerundet)

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