Die Formel

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) gilt:

Kosinussatz
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\)

Die gesuchte Seite steht links. Der Winkel ist immer der von den beiden anderen Seiten eingeschlossene Winkel.

Je nachdem, welche Seite gesucht ist, verschieben sich die Buchstaben:

Alle drei Varianten
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)\)
\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)\)
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\)

Zusammenhang mit Pythagoras: Bei \(\gamma = 90°\) ist \(\cos(90°) = 0\). Der ganze hintere Term fällt weg und übrig bleibt \(c^2 = a^2 + b^2\) - der Satz des Pythagoras. Er ist also nur der Sonderfall des Kosinussatzes für das rechtwinklige Dreieck.

Wann verwende ich den Kosinussatz?

Der Kosinussatz ist in genau zwei Konstellationen das richtige Werkzeug:

FallGegebenGesuchtVorgehen
SWS Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel Dritte Seite Direkt einsetzen
SSS Alle drei Seiten Ein Winkel Formel nach \(\cos(\gamma)\) umstellen
Nach dem Winkel umgestellt
\(\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)

Diese Form brauchen Sie im SSS-Fall, wenn aus drei bekannten Seiten ein Winkel gesucht ist.

💡 Faustregel: Kennen Sie ein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel, nehmen Sie den Sinussatz - der ist kürzer. Fehlt so ein Paar, bleibt nur der Kosinussatz.

Beispiel: Seite berechnen (SWS)

Gegeben: a = 7 cm, b = 9 cm, γ = 48°. Gesucht: Seite c
1
Formel wählen: Gesucht ist \(c\), also \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\)
2
Einsetzen: \(c^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos(48°)\)
3
Ausrechnen: \(c^2 = 49 + 81 - 126 \cdot 0{,}669 = 130 - 84{,}3 = 45{,}7\)
4
Wurzel ziehen: \(c = \sqrt{45{,}7} \approx 6{,}76\) cm

⚠️ Häufiger Fehler: Die Wurzel am Schluss nicht vergessen. Die Formel liefert \(c^2\), nicht \(c\).

Beispiel: Winkel berechnen (SSS)

Gegeben: a = 5 cm, b = 8 cm, c = 10 cm. Gesucht: Winkel γ
1
Umgestellte Formel: \(\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)
2
Einsetzen: \(\cos(\gamma) = \frac{25 + 64 - 100}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{-11}{80} = -0{,}1375\)
3
Arkuskosinus anwenden: \(\gamma = \cos^{-1}(-0{,}1375) \approx 97{,}9°\)

Negativer Kosinuswert: Kommt für \(\cos(\gamma)\) eine negative Zahl heraus, ist der Winkel stumpf (größer als 90°). Das ist kein Rechenfehler, sondern die Information, dass das Dreieck stumpfwinklig ist.

💡 Merke: Berechnen Sie im SSS-Fall zuerst den Winkel gegenüber der längsten Seite. Nur dieser kann stumpf sein. Die beiden anderen Winkel gehen danach schneller über den Sinussatz oder die Winkelsumme von 180°.

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Welcher Satz ergibt sich aus dem Kosinussatz, wenn \(\gamma = 90°\) ist?

Aufgabe 2Leicht

Wann verwenden Sie den Kosinussatz statt des Sinussatzes?

Aufgabe 3Mittel

Berechnen Sie \(c\) für \(a = 6\), \(b = 8\), \(\gamma = 60°\). (gerundet)

Aufgabe 4Schwer

Ein Dreieck hat die Seiten \(a = 4\), \(b = 6\), \(c = 9\). Wie groß ist \(\cos(\gamma)\)? (gerundet)

Aufgabe 5Schwer

Was bedeutet es, wenn \(\cos(\gamma)\) negativ ist?

🎯 Dein Ergebnis
0 / 5 richtig