Normalvektordarstellung einer Ebene

Die Idee: senkrecht zum Normalvektor

Der Normalvektor \(\vec{n}\) steht senkrecht auf der Ebene - und damit auf jedem Vektor, der in der Ebene liegt. Ist \(P\) ein fester Punkt der Ebene und \(X\) ein beliebiger, dann liegt der Verbindungsvektor \(X - P\) in der Ebene, genau dann, wenn \(X\) selbst in der Ebene liegt. Senkrecht heißt beim Skalarprodukt: Ergebnis null.

Multipliziert man das Skalarprodukt aus, wird aus der vektoriellen Schreibweise eine gewöhnliche Gleichung in \(x\), \(y\) und \(z\):

Die Koeffizienten von \(x\), \(y\) und \(z\) sind die Koordinaten des Normalvektors - er lässt sich also direkt ablesen. In deutschen Schulbüchern heißt dieselbe Gleichung Koordinatenform, der Lehrplan in Österreich spricht von der Normalvektordarstellung; gemeint ist dasselbe.

Den Normalvektor finden

Ist die Ebene durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) gegeben - also in Parameterdarstellung - liefert das Kreuzprodukt einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht:

Ist die Ebene durch drei Punkte \(A\), \(B\), \(C\) gegeben, bildet man zuerst zwei Richtungsvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) und rechnet dann genauso:

Beispiel 3 zeigt nebenbei ein Muster für Ebenen, die die Achsen bei \(a\), \(b\), \(c\) schneiden: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\), hier \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1\), mit 6 multipliziert \(3x + 2y + z = 6\).

Punktprobe und Sonderfälle

Ob ein Punkt in der Ebene liegt, beantwortet die Gleichung sofort: Koordinaten einsetzen, nachrechnen. \(P(1 \mid 1 \mid 3)\) liegt in \(x + y + z = 5\), weil \(1 + 1 + 3 = 5\); \(Q(1 \mid 1 \mid 1)\) liegt nicht drin, weil \(3 \neq 5\). Bei einer Parameterdarstellung müsste man dafür ein Gleichungssystem in \(s\) und \(t\) lösen.

Fehlt eine Variable in der Gleichung, hat der Normalvektor dort eine 0 - die Ebene verläuft dann parallel zu dieser Achse. Die Umrechnung in die Parameterdarstellung und zurück: Ebenenformen umrechnen.

Einordnung für Schularbeit und Matura

Der Lehrplan der 6. Klasse verlangt, „Normalvektoren ermitteln" und „Ebenen durch Parameterdarstellungen bzw. Gleichungen (Normalvektordarstellungen) beschreiben" zu können. Im Grundkompetenzkatalog für die Matura ist davon nur der zweidimensionale Teil enthalten: AG 3.5 verlangt Normalvektoren in \(\mathbb{R}^2\), Ebenen kommen nicht vor. Das Kreuzprodukt steht ebenfalls nicht im Katalog. Für Schularbeiten der 6. Klasse ist beides Standard.

Typische Fehler

• \(d\) vergessen oder \(d = 0\) setzen: \(d\) ist \(\vec{n} \cdot P\) und nur dann 0, wenn die Ebene durch den Ursprung geht. In Beispiel 1 ist \(d = 9\).
• Kreuzprodukt mit vertauschten Komponenten: Die erste Koordinate ist \(u_2 v_3 - u_3 v_2\), nicht \(u_2 v_3 - u_2 v_3\). Die Kontrolle \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\) deckt jeden Rechenfehler auf und dauert eine Zeile.
• Den Aufpunkt als Normalvektor verwenden: \(P\) ist ein Punkt auf der Ebene, \(\vec{n}\) steht senkrecht dazu. Sie haben nichts miteinander zu tun.
• Nach dem Kürzen des Normalvektors \(d\) nicht neu berechnen: Wer \((18 \mid 12 \mid 6)\) auf \((3 \mid 2 \mid 1)\) kürzt, muss \(d\) mit dem gekürzten Vektor ausrechnen - oder \(d\) mitkürzen.
• Richtungsvektoren als Normalvektor ablesen: In der Parameterdarstellung stehen zwei Richtungsvektoren, die in der Ebene liegen. Der Normalvektor entsteht erst durch das Kreuzprodukt.