Überblick der drei Ebenenformen

Es gibt drei gebräuchliche Darstellungen einer Ebene:

  • Parameterform: \(E: \vec{X} = \vec{a} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}\)
  • Normalvektorform: \(E: \vec{n} \cdot (\vec{X} - \vec{a}) = 0\)
  • Koordinatengleichung: \(E: n_1 x + n_2 y + n_3 z = d\)

Wann welche Form?

Die Parameterform erhält man direkt aus drei Punkten. Die Koordinatengleichung ist ideal für Punktproben und Lagebeziehungen. Die Normalvektorform ist das Bindeglied zwischen beiden.

Parameterform → Koordinatengleichung

Um von der Parameterform zur Koordinatengleichung zu gelangen, berechnet man den Normalvektor über das Kreuzprodukt:

Umrechnung Parameter → Koordinaten

1. Normalvektor: \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\)

2. \(d\) berechnen: \(d = \vec{n} \cdot \vec{a}\)

3. Koordinatengleichung: \(n_1 x + n_2 y + n_3 z = d\)

Beispiel: Parameter → Koordinaten

Wandle \(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) in eine Koordinatengleichung um.

1
\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
2
\(d = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1\)
3
\(E: x - y + z = 1\)

Koordinatengleichung → Parameterform

Dieser Weg erfordert etwas mehr Arbeit. Man bestimmt drei Punkte auf der Ebene, indem man jeweils zwei Variablen frei wählt:

Umrechnung Koordinaten → Parameter

1. Drei Punkte auf der Ebene finden (z. B. Achsenabschnitte)

2. Spannvektoren: \(\vec{u} = \vec{AB}\), \(\vec{v} = \vec{AC}\)

3. Parameterform aufstellen

Beispiel: Koordinaten → Parameter

Wandle \(E: 2x + y - z = 4\) in die Parameterform um.

1
Punkte finden: \(A(2|0|0)\), \(B(0|4|0)\), \(C(0|0|-4)\)
2
\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\)
3
\(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\)

Normalvektorform ↔ Koordinatengleichung

Die Umrechnung zwischen Normalvektorform und Koordinatengleichung ist am einfachsten:

Normalvektorform → Koordinatengleichung
\(\vec{n} \cdot (\vec{X} - \vec{a}) = 0 \implies n_1 x + n_2 y + n_3 z = \vec{n} \cdot \vec{a}\)

Einfach ausmultiplizieren und zusammenfassen

Tipp: Von der Koordinatengleichung zur Normalvektorform liest man den Normalvektor direkt ab: Bei \(ax + by + cz = d\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\). Dann wählt man einen Punkt der Ebene als Aufpunkt.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Wie lautet der Normalvektor der Ebene \(E: 3x - y + 2z = 7\)?

Aufgabe 2 Mittel

Wandle \(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) in eine Koordinatengleichung um.

Aufgabe 3 Mittel

Welcher Schritt ist notwendig, um von der Parameterform zur Koordinatengleichung zu gelangen?

Aufgabe 4 Schwer

Wandle \(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) in die Koordinatengleichung um.

Aufgabe 5 Schwer

Bestimme eine Parameterform der Ebene \(E: x + 2y + 3z = 6\).

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