Die Parameterform

Eine Ebene \(E\) im \(\mathbb{R}^3\) wird durch die Parameterform beschrieben:

Parameterform der Ebene
\(E: \vec{X} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}, \quad s, t \in \mathbb{R}\)

\(\vec{p}\) = Stützvektor, \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) = Richtungsvektoren (nicht kollinear!)

In Komponentenschreibweise:

Komponentenform
\(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\)

Wichtige Bedingung

Die beiden Richtungsvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) dürfen nicht kollinear sein (also nicht parallel zueinander), sonst erhält man keine Ebene, sondern nur eine Gerade.

Ebene durch drei Punkte

Gegeben drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\), die nicht auf einer Geraden liegen. Die Ebene durch diese Punkte lautet:

Ebene durch drei Punkte
\(E: \vec{X} = \vec{a} + s \cdot \vec{AB} + t \cdot \vec{AC}\)

\(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}\)

Beispiel: Ebene aus drei Punkten

Bestimme die Parameterdarstellung der Ebene durch \(A(1|0|2)\), \(B(3|1|0)\) und \(C(0|2|1)\).

1
\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 1-0 \\ 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\)
2
\(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 2-0 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)
3
\(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Punktprobe

Um zu prüfen, ob ein Punkt \(Q\) in einer Ebene liegt, setzt man seine Koordinaten in die Parameterform ein. Es entsteht ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten (\(s\) und \(t\)):

Beispiel: Punktprobe

Liegt \(Q(5|2|-2)\) in der Ebene \(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)?

1
Gleichungssystem: \(1 + 2s - t = 5\), \(s + 2t = 2\), \(2 - 2s - t = -2\)
2
Aus (1): \(2s - t = 4\). Aus (3): \(-2s - t = -4 \implies 2s + t = 4\)
3
Addition: \(4s = 8 \implies s = 2\), dann \(t = 0\). Probe in (2): \(2 + 0 = 2\) ✓

Der Punkt \(Q\) liegt in der Ebene (mit \(s = 2\), \(t = 0\)).

Spurpunkte und Spurgeraden

Die Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Die Spurgeraden sind die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen.

Spurpunkte bestimmen

\(S_x\): Setze \(y = 0\) und \(z = 0\), löse nach \(s\) und \(t\)

\(S_y\): Setze \(x = 0\) und \(z = 0\), löse nach \(s\) und \(t\)

\(S_z\): Setze \(x = 0\) und \(y = 0\), löse nach \(s\) und \(t\)

Besondere Ebenen

Die Koordinatenebenen haben einfache Parameterdarstellungen:

Koordinatenebenen

\(xy\)-Ebene: \(\vec{X} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (alle Punkte mit \(z = 0\))

\(xz\)-Ebene: \(\vec{X} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (alle Punkte mit \(y = 0\))

\(yz\)-Ebene: \(\vec{X} = s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (alle Punkte mit \(x = 0\))

Tipp: Die Parameterdarstellung ist nicht eindeutig. Man kann jeden Punkt der Ebene als Stützvektor wählen und es gibt unendlich viele Paare von Richtungsvektoren, die dieselbe Ebene aufspannen.

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Wie viele Parameter hat die Parameterdarstellung einer Ebene?

Aufgabe 2 Mittel

Bestimme die Richtungsvektoren der Ebene durch \(A(1|0|0)\), \(B(0|1|0)\), \(C(0|0|1)\) mit Stützvektor \(A\).

Aufgabe 3 Mittel

Welcher Punkt liegt in der \(xy\)-Ebene?

Aufgabe 4 Schwer

Liegt der Punkt \(Q(3|3|3)\) in der Ebene \(E: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)?

Aufgabe 5 Schwer

Stelle die Ebene durch \(A(2|0|0)\), \(B(0|3|0)\), \(C(0|0|4)\) in Parameterform auf. Welche Richtungsvektoren ergeben sich?

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