Lagebeziehung Gerade und Ebene: schneidend, parallel oder in der Ebene - Durchstoßpunkt berechnen

Die drei Fälle

Gegeben sind eine Gerade in Parameterdarstellung \(g: X = P + t \cdot \vec{r}\) mit Aufpunkt \(P\) und Richtungsvektor \(\vec{r}\), und eine Ebene \(E: ax + by + cz = d\) mit Normalvektor \(\vec{n} = (a \mid b \mid c)\). Der Normalvektor steht senkrecht auf der Ebene. Steht auch der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf \(\vec{n}\), verläuft die Gerade parallel zur Ebene - entweder außerhalb oder in ihr.

Lage	Bedingung	Zusätzlich	Gemeinsame Punkte
schneidend	\(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\)	-	genau einer: der Durchstoßpunkt
parallel	\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\)	\(P\) erfüllt die Ebenengleichung nicht	keiner
in der Ebene	\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\)	\(P\) erfüllt die Ebenengleichung	alle Punkte der Geraden

Prüfverfahren in zwei Schritten

Vorgehen

\(\vec{n} \cdot \vec{r}\) berechnen. Ungleich null: Die Gerade schneidet die Ebene - Parameterdarstellung in die Ebenengleichung einsetzen, \(t\) ausrechnen, Durchstoßpunkt bestimmen.

Gleich null: Aufpunkt \(P\) in die Ebenengleichung einsetzen. Stimmt sie, liegt die Gerade in der Ebene; stimmt sie nicht, ist die Gerade parallel.

Warum das funktioniert: Setzt man die Gerade in die Ebene ein, entsteht die Gleichung \(\vec{n} \cdot P + t \cdot (\vec{n} \cdot \vec{r}) = d\). Ist \(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\), lässt sie sich nach \(t\) auflösen - genau eine Lösung. Ist \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\), fällt \(t\) weg, und übrig bleibt eine Aussage ohne Variable, die entweder wahr ist (jedes \(t\) passt, die Gerade liegt in der Ebene) oder falsch (kein \(t\) passt, parallel).

Fall 1: Die Gerade schneidet die Ebene

Beispiel 1: \(g: X = (1 \mid 0 \mid 2) + t \cdot (1 \mid 1 \mid -1)\) und \(E: x + 2y + z = 5\)

\(\vec{n} \cdot \vec{r} = (1 \mid 2 \mid 1) \cdot (1 \mid 1 \mid -1) = 1 + 2 - 1 = 2 \neq 0\), also schneidend

Koordinaten der Geraden: \(x = 1 + t\), \(y = t\), \(z = 2 - t\). Einsetzen: \((1 + t) + 2t + (2 - t) = 5\)

\(3 + 2t = 5\), also \(t = 1\)

\(t = 1\) in die Gerade: Durchstoßpunkt \(S(2 \mid 1 \mid 1)\). Probe in \(E\): \(2 + 2 + 1 = 5\). Stimmt.

Beispiel 2 mit Bruch: \(g: X = (1 \mid 0 \mid 3) + t \cdot (1 \mid 2 \mid -1)\) und \(E: 2x + y - z = 1\)

\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 2 + 2 + 1 = 5 \neq 0\), schneidend. (Der Koeffizient von \(t\) beim Einsetzen ist immer genau dieses Skalarprodukt.)

Einsetzen: \(2(1 + t) + 2t - (3 - t) = 1\), also \(2 + 2t + 2t - 3 + t = 1\), \(5t - 1 = 1\), \(t = \frac{2}{5}\)

\(S\left(\frac{7}{5} \mid \frac{4}{5} \mid \frac{13}{5}\right)\). Probe: \(\frac{14}{5} + \frac{4}{5} - \frac{13}{5} = \frac{5}{5} = 1\). Stimmt.

Der Durchstoßpunkt heißt in manchen Büchern Schnittpunkt oder Spurpunkt; gemeint ist immer der eine gemeinsame Punkt. Brüche im Ergebnis sind normal - wer sie durch Runden „glättet", verliert die Probe.

Fall 2 und 3: parallel oder in der Ebene

Beispiel 3: \(g: X = (1 \mid 0 \mid 0) + t \cdot (1 \mid 0 \mid -1)\) und \(E: x + y + z = 3\)

\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 0\), also parallel oder in der Ebene

Aufpunkt \((1 \mid 0 \mid 0)\) einsetzen: \(1 + 0 + 0 = 1 \neq 3\). Der Punkt liegt nicht in \(E\): Die Gerade ist parallel zur Ebene.

Beispiel 4: \(g: X = (1 \mid 1 \mid 1) + t \cdot (1 \mid 0 \mid -1)\) und dieselbe Ebene \(E: x + y + z = 3\)

Gleicher Richtungsvektor, also wieder \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\)

Aufpunkt \((1 \mid 1 \mid 1)\): \(1 + 1 + 1 = 3\). Der Punkt liegt in \(E\), und weil die Richtung parallel ist, liegt die ganze Gerade in der Ebene.

Beispiele 3 und 4 unterscheiden sich nur im Aufpunkt. Das zeigt, warum beide Schritte nötig sind: Das Skalarprodukt allein kann parallel und „in der Ebene" nicht auseinanderhalten.

Der Schnittwinkel: Sinus statt Cosinus

Der Winkel \(\alpha\) zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion auf die Ebene - nicht der Winkel zum Normalvektor. Der Normalvektor steht senkrecht auf der Ebene, deshalb sind die beiden Winkel Komplementärwinkel, und aus dem Cosinus zum Normalvektor wird der Sinus zur Ebene:

Schnittwinkel Gerade - Ebene

\(\sin\alpha = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{r}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{r}|}\)

\(0° \leq \alpha \leq 90°\); der Betrag sorgt für den spitzen Winkel

Beispiel 5: \(g\) mit Richtung \((1 \mid 1 \mid 1)\) und die Ebene \(E: z = 0\)

\(\vec{n} = (0 \mid 0 \mid 1)\), \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 1\), \(|\vec{n}| = 1\), \(|\vec{r}| = \sqrt{3}\)

\(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\), also \(\alpha \approx 35{,}3°\)

Zur Kontrolle mit dem Cosinus: Der Winkel zwischen \(\vec{r}\) und dem Normalvektor ist \(\arccos\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 54{,}7°\), und \(54{,}7° + 35{,}3° = 90°\).

Steht die Gerade senkrecht auf der Ebene - Richtungsvektor parallel zum Normalvektor - ist \(\sin\alpha = 1\) und \(\alpha = 90°\). Ist \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\), ist der Winkel 0°: die Gerade ist parallel.

Einordnung für Schularbeit und Matura

Geraden und Ebenen im Raum stehen im Lehrplan der 6. Klasse. Im Grundkompetenzkatalog für die Matura kommen Ebenen nicht vor: AG 3.4 verlangt Geraden in \(\mathbb{R}^3\) in Parameterdarstellung und ihre Lagebeziehungen zueinander, AG 3.5 Normalvektoren nur in \(\mathbb{R}^2\). Der Durchstoßpunkt einer Geraden durch eine Ebene ist damit Schularbeitsstoff, bei der Reifeprüfung aber keine Grundkompetenz. Für zwei Ebenen: Lagebeziehungen zweier Ebenen.

Typische Fehler

Den Aufpunkt statt des Richtungsvektors mit \(\vec{n}\) multiplizieren: Für die Lage zählt \(\vec{n} \cdot \vec{r}\). Der Aufpunkt kommt erst im zweiten Schritt.
Bei \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) sofort „parallel" sagen: Es könnte auch „in der Ebene" sein. Beispiele 3 und 4 haben denselben Richtungsvektor und verschiedene Antworten.
\(t\) als Ergebnis abgeben: \(t = 1\) ist der Parameter, nicht der Punkt. Der Durchstoßpunkt entsteht erst durch Einsetzen von \(t\) in die Gerade.
Cosinus statt Sinus beim Winkel: \(\cos\) liefert den Winkel zum Normalvektor, also das Komplement. Bei Beispiel 5 wären das 54,7° statt 35,3°.
Vorzeichen beim Einsetzen: \(-(3 - t) = -3 + t\), nicht \(-3 - t\). In Beispiel 2 hängt das ganze Ergebnis daran.