Lagebeziehungen zweier Ebenen: parallel, identisch, schneidend - mit Schnittgerade

Die drei Fälle

Gegeben sind zwei Ebenen in Normalvektorform, \(E_1: a_1x + b_1y + c_1z = d_1\) und \(E_2: a_2x + b_2y + c_2z = d_2\), mit den Normalvektoren \(\vec{n}_1 = (a_1 \mid b_1 \mid c_1)\) und \(\vec{n}_2 = (a_2 \mid b_2 \mid c_2)\). Der Normalvektor steht senkrecht auf seiner Ebene - zwei Ebenen mit gleicher Richtung des Normalvektors sind deshalb parallel zueinander.

Lage	Normalvektoren	Rechte Seiten	Gemeinsame Punkte
identisch	kollinear: \(\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1\)	\(d_2 = k \cdot d_1\)	alle - es ist dieselbe Ebene
parallel	kollinear: \(\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1\)	\(d_2 \neq k \cdot d_1\)	keiner
schneidend	nicht kollinear	-	eine Gerade, die Schnittgerade

Anders als bei Geraden gibt es keinen vierten Fall: Zwei Ebenen können nicht „windschief" sein. Sind ihre Normalvektoren nicht parallel, müssen sie sich schneiden.

Prüfverfahren in zwei Schritten

Vorgehen

Sind die Normalvektoren kollinear? Gibt es also ein \(k\) mit \(\vec{n}_2 = k \cdot \vec{n}_1\)? Wenn nein: Die Ebenen schneiden sich - weiter zur Schnittgeraden.

Wenn ja: Gilt mit demselben \(k\) auch \(d_2 = k \cdot d_1\)? Dann sind die Ebenen identisch, sonst parallel.

Beispiel 1: \(E_1: 2x + y - z = 3\) und \(E_2: 4x + 2y - 2z = 8\)

\(\vec{n}_2 = (4 \mid 2 \mid -2) = 2 \cdot (2 \mid 1 \mid -1) = 2 \cdot \vec{n}_1\), also kollinear mit \(k = 2\)

\(k \cdot d_1 = 2 \cdot 3 = 6\), aber \(d_2 = 8\). Die rechte Seite passt nicht: Die Ebenen sind parallel.

Beispiel 2: \(E_1: x + y + z = 3\) und \(E_2: 2x + 2y + 2z = 6\)

\(\vec{n}_2 = 2 \cdot \vec{n}_1\), kollinear mit \(k = 2\)

\(k \cdot d_1 = 2 \cdot 3 = 6 = d_2\). Die zweite Gleichung ist nur das Doppelte der ersten: Die Ebenen sind identisch.

Ein zweiter Blick auf Beispiel 2: Dividiert man \(E_2\) durch 2, steht dort wörtlich \(E_1\). Das ist die schnellste Kontrolle für Identität - eine Gleichung ist ein Vielfaches der anderen, inklusive der rechten Seite.

Die Schnittgerade berechnen

Sind die Normalvektoren nicht kollinear, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Ihre Punkte erfüllen beide Ebenengleichungen zugleich - zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, also bleibt eine Variable frei. Das ist der Parameter der Geraden.

Beispiel 3, Weg A über das Gleichungssystem: \(E_1: x + y = 2\) und \(E_2: x + z = 3\)

Normalvektoren \((1 \mid 1 \mid 0)\) und \((1 \mid 0 \mid 1)\) sind nicht kollinear - die Ebenen schneiden sich.

Eine Variable frei wählen: \(z = t\). Aus \(E_2\): \(x = 3 - t\). Aus \(E_1\): \(y = 2 - x = 2 - (3 - t) = t - 1\).

Als Parameterdarstellung: \(g: X = (3 \mid -1 \mid 0) + t \cdot (-1 \mid 1 \mid 1)\)

Weg B nutzt, dass die Schnittgerade in beiden Ebenen liegt und deshalb auf beiden Normalvektoren senkrecht steht. Genau das leistet das Kreuzprodukt:

Richtungsvektor der Schnittgeraden

\(\vec{r} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2\)

danach fehlt nur noch ein Punkt, der beide Gleichungen erfüllt

Beispiel 3, Weg B über das Kreuzprodukt

\(\vec{r} = (1 \mid 1 \mid 0) \times (1 \mid 0 \mid 1) = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \mid 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \mid 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (1 \mid -1 \mid -1)\)

Ein Punkt: \(z = 0\) setzen, dann \(x = 3\) und \(y = -1\). Also \(g: X = (3 \mid -1 \mid 0) + s \cdot (1 \mid -1 \mid -1)\).

Vergleich mit Weg A: \((1 \mid -1 \mid -1) = -1 \cdot (-1 \mid 1 \mid 1)\). Derselbe Richtungsvektor, nur entgegengesetzt orientiert - dieselbe Gerade.

Dass beide Wege denselben Richtungsvektor liefern (bis auf einen Faktor), ist die beste Probe. Bei Schularbeiten reicht einer der Wege; das Kreuzprodukt ist kürzer, das Gleichungssystem kommt ohne Kreuzprodukt aus - was praktisch ist, denn das Kreuzprodukt steht nicht in jedem Schulbuch.

Der Schnittwinkel

Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist der Winkel zwischen ihren Normalvektoren - denn dreht man eine Ebene, dreht sich ihr Normalvektor um denselben Winkel mit. Berechnet wird er wie jeder Winkel zwischen Vektoren über das Skalarprodukt:

Schnittwinkel zweier Ebenen

\(\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}\)

Betrag im Zähler, damit der spitze Winkel herauskommt (zwischen 0° und 90°)

Beispiel 4: \(E_1: x + y + z = 1\) und \(E_2: x = 0\)

\(\vec{n}_1 = (1 \mid 1 \mid 1)\), \(\vec{n}_2 = (1 \mid 0 \mid 0)\). Skalarprodukt: \(1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 1\)

Beträge: \(|\vec{n}_1| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\), \(|\vec{n}_2| = 1\)

\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\), also \(\alpha \approx 54{,}7°\)

Sonderfall: Ist das Skalarprodukt der Normalvektoren 0, stehen die Ebenen senkrecht aufeinander - wie die Koordinatenebenen \(z = 0\) und \(x = 0\) mit den Normalvektoren \((0 \mid 0 \mid 1)\) und \((1 \mid 0 \mid 0)\).

Einordnung für Schularbeit und Matura

Ebenen im Raum stehen im Lehrplan der 6. Klasse. Im Grundkompetenzkatalog für die Matura kommen sie dagegen nicht vor - AG 3.4 verlangt Geraden in \(\mathbb{R}^3\) nur in Parameterdarstellung, AG 3.5 Normalvektoren nur in \(\mathbb{R}^2\). Lagebeziehungen von Ebenen sind damit Schularbeitsstoff, bei der standardisierten Reifeprüfung aber keine Grundkompetenz. Für die Lage von Gerade und Ebene: Lagebeziehungen Gerade und Ebene.

Typische Fehler

Nur die Normalvektoren prüfen und „identisch" vergessen: Kollineare Normalvektoren heißen parallel oder identisch. Ohne den Vergleich der rechten Seiten ist die Antwort unvollständig.
Das \(k\) zweimal verschieden bestimmen: Das \(k\) aus den Normalvektoren muss auch für die rechten Seiten gelten. In Beispiel 1 ist \(k = 2\), aber \(8 \neq 2 \cdot 3\) - also parallel, obwohl \(8 = \frac{8}{3} \cdot 3\) wäre.
Reihenfolge im Kreuzprodukt: \(\vec{n}_2 \times \vec{n}_1\) ergibt den Richtungsvektor mit umgekehrtem Vorzeichen. Für die Gerade ist das egal, beim Vergleich mit einer Musterlösung nicht.
Den Winkel ohne Betrag rechnen: Dann kann ein stumpfer Winkel herauskommen, etwa 125,3° statt 54,7°. Der Schnittwinkel zweier Ebenen wird als spitzer Winkel angegeben.
Einen Punkt der Schnittgeraden raten: Der Punkt muss beide Gleichungen erfüllen. \((3 \mid -1 \mid 0)\) in Beispiel 3: \(3 + (-1) = 2\) und \(3 + 0 = 3\). Beides stimmt.