Parameterdarstellung von Geraden im Raum: X = P + t · r aufstellen und Punktprobe

Die Parameterdarstellung

Gerade im Raum

\(g: X = P + t \cdot \vec{r}, \qquad t \in \mathbb{R}\)

\(P\) Aufpunkt (ein Punkt der Geraden), \(\vec{r}\) Richtungsvektor, \(t\) Parameter

Ausgeschrieben in Koordinaten sind das drei Gleichungen mit demselben \(t\):

\(x = p_1 + t \cdot r_1 \qquad y = p_2 + t \cdot r_2 \qquad z = p_3 + t \cdot r_3\)

Der Parameter \(t\) ist eine Art Laufzahl: Für \(t = 0\) steht man im Aufpunkt \(P\), für \(t = 1\) einen Richtungsvektor weiter, für \(t = -1\) einen zurück, für \(t = 0{,}5\) genau dazwischen. Jeder Wert liefert einen Punkt, und alle Punkte zusammen ergeben die Gerade.

Beispiel 1: Punkte der Geraden \(g: X = (2 \mid 1 \mid 0) + t \cdot (1 \mid -1 \mid 2)\)

\(t\)	Rechnung	Punkt
0	\((2 \mid 1 \mid 0) + 0\)	\((2 \mid 1 \mid 0)\), der Aufpunkt
1	\((2 + 1 \mid 1 - 1 \mid 0 + 2)\)	\((3 \mid 0 \mid 2)\)
3	\((2 + 3 \mid 1 - 3 \mid 0 + 6)\)	\((5 \mid -2 \mid 6)\)
\(-2\)	\((2 - 2 \mid 1 + 2 \mid 0 - 4)\)	\((0 \mid 3 \mid -4)\)

Gerade durch zwei Punkte

Meist sind nicht Aufpunkt und Richtung gegeben, sondern zwei Punkte \(A\) und \(B\). Dann nimmt man \(A\) als Aufpunkt und den Verbindungsvektor als Richtung:

Gerade durch \(A\) und \(B\)

\(g: X = A + t \cdot \vec{AB} \qquad \text{mit } \vec{AB} = B - A\)

„Spitze minus Schaft": Endpunkt minus Anfangspunkt

Beispiel 2: Gerade durch \(A(1 \mid 3 \mid 2)\) und \(B(4 \mid 1 \mid 5)\)

Richtungsvektor: \(\vec{AB} = (4 - 1 \mid 1 - 3 \mid 5 - 2) = (3 \mid -2 \mid 3)\)

\(g: X = (1 \mid 3 \mid 2) + t \cdot (3 \mid -2 \mid 3)\)

Kontrolle: Für \(t = 1\) muss \(B\) herauskommen. \((1 + 3 \mid 3 - 2 \mid 2 + 3) = (4 \mid 1 \mid 5)\). Stimmt.

Bei dieser Wahl ist \(t = 0{,}5\) der Mittelpunkt der Strecke \(AB\), hier \((2{,}5 \mid 2 \mid 3{,}5)\). Und Werte außerhalb von \([0;\, 1]\) liegen auf der Geraden, aber nicht mehr zwischen \(A\) und \(B\).

Punktprobe: Liegt ein Punkt auf der Geraden?

Die Koordinaten des Punktes in die drei Gleichungen einsetzen und jede nach \(t\) auflösen. Kommt dreimal derselbe Wert heraus, liegt der Punkt auf der Geraden. Kommt auch nur einmal ein anderer Wert heraus, liegt er nicht darauf.

Beispiel 3: Liegt \(Q(7 \mid -1 \mid 8)\) auf \(g: X = (1 \mid 3 \mid 2) + t \cdot (3 \mid -2 \mid 3)\)?

\(1 + 3t = 7\), also \(t = 2\)

\(3 - 2t = -1\), also \(t = 2\)

\(2 + 3t = 8\), also \(t = 2\). Dreimal \(t = 2\): \(Q\) liegt auf \(g\).

Beispiel 4: Liegt \(R(7 \mid -1 \mid 5)\) auf derselben Geraden?

Aus \(x\): \(t = 2\). Aus \(y\): \(t = 2\).

Aus \(z\): \(2 + 3t = 5\), also \(t = 1\). Das passt nicht zu \(t = 2\).

\(R\) liegt nicht auf \(g\). Zwei von drei Gleichungen reichen nicht - alle drei müssen dasselbe \(t\) liefern.

Ein Sonderfall: Ist eine Koordinate des Richtungsvektors 0, steht in dieser Gleichung kein \(t\). Dann muss die Koordinate des Punktes direkt mit der des Aufpunkts übereinstimmen - sonst liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Dieselbe Gerade, viele Darstellungen

Die Parameterdarstellung ist nicht eindeutig. Als Aufpunkt kann jeder Punkt der Geraden dienen, und als Richtungsvektor jedes Vielfache von \(\vec{r}\) (außer \(\vec{0}\)). Die drei folgenden Darstellungen beschreiben dieselbe Gerade wie in Beispiel 1:

\(X = (3 \mid 0 \mid 2) + t \cdot (1 \mid -1 \mid 2)\) - anderer Aufpunkt (der Punkt für \(t = 1\))
\(X = (2 \mid 1 \mid 0) + t \cdot (2 \mid -2 \mid 4)\) - doppelter Richtungsvektor, \(t\) läuft „doppelt so schnell"
\(X = (2 \mid 1 \mid 0) + t \cdot (-1 \mid 1 \mid -2)\) - Richtung umgedreht

Zwei Darstellungen beschreiben genau dann dieselbe Gerade, wenn die Richtungsvektoren kollinear sind und der Aufpunkt der einen auf der anderen liegt (Punktprobe). Nur die Richtung zu vergleichen reicht nicht - das ergäbe auch bei parallelen Geraden „gleich". Wie man Geraden im Raum auf parallel, schneidend, identisch oder windschief prüft: Lagebeziehungen von Geraden im Raum.

Die Koordinatenachsen als Geraden

Achse	Parameterdarstellung	Punkte
x-Achse	\(X = t \cdot (1 \mid 0 \mid 0)\)	\((t \mid 0 \mid 0)\)
y-Achse	\(X = t \cdot (0 \mid 1 \mid 0)\)	\((0 \mid t \mid 0)\)
z-Achse	\(X = t \cdot (0 \mid 0 \mid 1)\)	\((0 \mid 0 \mid t)\)

Der Aufpunkt ist jeweils der Ursprung, deshalb fehlt er in der Schreibweise. Eine Gerade parallel zur z-Achse durch \((2 \mid 3 \mid 0)\) ist entsprechend \(X = (2 \mid 3 \mid 0) + t \cdot (0 \mid 0 \mid 1)\).

Einordnung für Schularbeit und Matura

Die Parameterdarstellung von Geraden im Raum ist die Grundkompetenz AG 3.4: „Geraden in \(\mathbb{R}^3\) durch Parameterdarstellungen angeben und diese Darstellungen interpretieren können; Lagebeziehungen analysieren, Schnittpunkte ermitteln können." Anders als in \(\mathbb{R}^2\) gibt es im Raum keine Gleichung mit Normalvektor für Geraden - das ist auch bei der Matura so gemeint. Ebenen im Raum stehen im Lehrplan der 6. Klasse, aber nicht im Grundkompetenzkatalog.

Typische Fehler

\(B\) statt \(\vec{AB}\) als Richtungsvektor: Die Richtung ist die Differenz \(B - A\), nicht der Punkt \(B\). Mit \(B\) als Richtung geht die Gerade durch \(A\), aber nicht durch \(B\).
Punktprobe mit nur einer Gleichung: Aus \(x\) allein folgt ein \(t\), das \(y\) und \(z\) noch bestätigen müssen. Beispiel 4 scheitert erst an der dritten Gleichung.
\(t\) als Antwort: Wer nach dem Punkt für \(t = 3\) gefragt wird, muss einsetzen. \(t = 3\) ist kein Punkt.
Verschiedene Darstellungen für verschiedene Geraden halten: \((2 \mid -2 \mid 4)\) und \((1 \mid -1 \mid 2)\) als Richtungsvektoren ergeben mit demselben Aufpunkt dieselbe Gerade.
Eine Gleichung für die Gerade suchen: \(2x + y - z = 3\) ist eine Ebene. Geraden im Raum brauchen die Parameterdarstellung.