Überblick der Lagebeziehungen

Für eine Gerade \(g: \vec{X} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}\) und eine Ebene \(E: \vec{n} \cdot \vec{X} = d\) gibt es drei Fälle:

  • Schneidend: Die Gerade durchstößt die Ebene in genau einem Punkt
  • Parallel: Die Gerade verläuft parallel zur Ebene (kein gemeinsamer Punkt)
  • In der Ebene liegend: Alle Punkte der Geraden liegen in der Ebene

Prüfverfahren

Man setzt die Geradengleichung in die Koordinatengleichung der Ebene ein:

Einsetzen der Geraden in die Ebene
\(\vec{n} \cdot (\vec{a} + t \cdot \vec{v}) = d\)

Ausmultiplizieren: \(\vec{n} \cdot \vec{a} + t \cdot (\vec{n} \cdot \vec{v}) = d\)

Fallunterscheidung

Sei \(\alpha = \vec{n} \cdot \vec{v}\) und \(\beta = d - \vec{n} \cdot \vec{a}\):

  • \(\alpha \neq 0\): Gerade schneidet Ebene, Schnittpunkt bei \(t = \frac{\beta}{\alpha}\)
  • \(\alpha = 0\) und \(\beta = 0\): Gerade liegt in der Ebene
  • \(\alpha = 0\) und \(\beta \neq 0\): Gerade ist parallel zur Ebene

Durchstoßpunkt berechnen

Wenn die Gerade die Ebene schneidet, bestimmt man den Durchstoßpunkt (Schnittpunkt):

Beispiel: Durchstoßpunkt berechnen

Bestimme den Durchstoßpunkt von \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(E: 2x + y - z = 1\).

1
Einsetzen: \(2(1+t) + (2t) - (3-t) = 1\)
2
\(2 + 2t + 2t - 3 + t = 1 \implies 5t - 1 = 1 \implies t = \frac{2}{5}\)
3
\(S = \begin{pmatrix} 1 + \frac{2}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 3 - \frac{2}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{5} \\ \frac{4}{5} \\ \frac{13}{5} \end{pmatrix}\)

Parallele Gerade und Ebene

Eine Gerade ist genau dann parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf dem Normalvektor der Ebene steht:

Bedingung für Parallelität
\(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0\)

Zusätzlich: Der Aufpunkt der Geraden liegt nicht in der Ebene

Beispiel: Parallelität prüfen

Ist \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) parallel zu \(E: z = 3\)?

1
Normalvektor: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Skalarprodukt: \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0\)
2
Aufpunkt prüfen: \(z_A = 0 \neq 3\), also liegt \(A\) nicht in \(E\).
3
Die Gerade ist parallel zur Ebene.

Schnittwinkel: Den Winkel \(\alpha\) zwischen einer schneidenden Geraden und der Ebene berechnet man mit: \(\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{v}|}\). Beachte: Es wird \(\sin\) verwendet, nicht \(\cos\)!

Übungen

Aufgabe 1 Leicht

Welche Lagebeziehung hat die \(x\)-Achse (\(g: \vec{X} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)) zur Ebene \(E: z = 0\)?

Aufgabe 2 Leicht

Wann schneidet eine Gerade eine Ebene?

Aufgabe 3 Mittel

Bestimme den Durchstoßpunkt von \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) mit \(E: x + y + z = 6\).

Aufgabe 4 Mittel

Welche Lagebeziehung hat \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) zur Ebene \(E: x + y + z = 1\)?

Aufgabe 5 Schwer

Bestimme den Durchstoßpunkt von \(g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit \(E: x - y + z = 4\).

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