Allgemeine Form mit Parametern
Die allgemeine Form einer verschobenen und gestreckten Potenzfunktion lautet:
\(a\) = Streckung/Spiegelung, \(d\) = Verschiebung in x-Richtung, \(e\) = Verschiebung in y-Richtung
Die drei Parameter:
- \(a\): Streckung (\(|a| > 1\)), Stauchung (\(0 < |a| < 1\)), Spiegelung (\(a < 0\))
- \(d\): Verschiebung nach rechts (\(d > 0\)) oder links (\(d < 0\))
- \(e\): Verschiebung nach oben (\(e > 0\)) oder unten (\(e < 0\))
Streckung und Stauchung (Parameter \(a\))
Der Parameter \(a\) verändert die Höhe des Graphen, nicht aber die \(x\)-Koordinaten der besonderen Punkte.
| \(x\) | \(x^2\) | \(2x^2\) | \(\frac{1}{3}x^2\) | \(-x^2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(-2\) | \(4\) | \(8\) | \(1{,}33\) | \(-4\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) | \(2\) | \(0{,}33\) | \(-1\) |
| \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(1{,}33\) | \(-4\) |
Achtung Vorzeichen: Bei \(a < 0\) wird der Graph an der x-Achse gespiegelt. Bei \(f(x) = -x^2\) öffnet sich die Parabel nach unten statt nach oben.
Verschiebung in x-Richtung (Parameter \(d\))
Der Parameter \(d\) verschiebt den Graphen horizontal:
\(d > 0\): nach rechts, \(d < 0\): nach links (Achtung: Minus im Klammerinneren!)
\(f(x) = (x - 3)^2\): Normalparabel um 3 Einheiten nach rechts verschoben. Scheitel bei \((3|0)\).
\(g(x) = (x + 2)^2 = (x - (-2))^2\): Normalparabel um 2 Einheiten nach links verschoben. Scheitel bei \((-2|0)\).
Merkregel: Das Vorzeichen ist "verkehrt herum": \((x - 3)^2\) verschiebt nach rechts, \((x + 2)^2\) nach links. Der Scheitel liegt immer dort, wo der Klammerausdruck Null wird.
Verschiebung in y-Richtung (Parameter \(e\))
Der Parameter \(e\) verschiebt den Graphen vertikal:
\(e > 0\): nach oben, \(e < 0\): nach unten
\(f(x) = 2(x - 1)^3 + 4\)
Der Wendepunkt von \(x^3\) liegt normalerweise bei \((0|0)\), hier bei \((1|4)\).
Übungen
Wo liegt der Scheitel der Funktion \(f(x) = (x - 4)^2 + 1\)?
Was bewirkt \(a = -\frac{1}{2}\) bei \(f(x) = -\frac{1}{2}x^2\)?
Die Funktion \(f(x) = x^2\) soll um 3 nach links und 5 nach unten verschoben werden. Wie lautet die neue Gleichung?
Welchen Funktionswert hat \(f(x) = 3(x - 2)^2 - 1\) an der Stelle \(x = 4\)?