Fundamentalsatz der Algebra
Der Fundamentalsatz der Algebra gibt eine wichtige Aussage über die Anzahl der Nullstellen:
Jedes Polynom vom Grad \(n \geq 1\) hat -- über den komplexen Zahlen gezählt -- genau \(n\) Nullstellen (mit Vielfachheit).
Für reelle Nullstellen gilt:
- Ein Polynom vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) reelle Nullstellen
- Ein Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle
- Ein Polynom geraden Grades kann auch keine reelle Nullstelle haben (z. B. \(x^2 + 1\))
- Komplexe Nullstellen treten immer paarweise konjugiert auf
Faktorisierung und Linearfaktoren
Hat ein Polynom die Nullstellen \(x_1, x_2, \ldots, x_n\), so lässt es sich in Linearfaktoren zerlegen:
\( f(x) = a_n \cdot (x - x_1)^{k_1} \cdot (x - x_2)^{k_2} \cdots (x - x_m)^{k_m} \)
wobei \(k_1 + k_2 + \ldots + k_m = n\)
Die Zahl \(k_i\) heißt Vielfachheit (Multiplizität) der Nullstelle \(x_i\).
Verhalten an Nullstellen:
- Einfache Nullstelle (\(k = 1\)): Graph schneidet die x-Achse (Vorzeichenwechsel)
- Doppelte Nullstelle (\(k = 2\)): Graph berührt die x-Achse (kein Vorzeichenwechsel)
- Dreifache Nullstelle (\(k = 3\)): Graph schneidet die x-Achse mit Wendepunkt
Rationale Nullstellen raten
Für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten kann man systematisch nach rationalen Nullstellen suchen:
Hat \( f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \) eine rationale Nullstelle \( \frac{p}{q} \) (in gekürzter Form), dann gilt:
\( p \mid a_0 \) und \( q \mid a_n \)
Gegeben: \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 \)
Teiler von \(a_0 = 2\): \(\pm 1, \pm 2\)
Teiler von \(a_n = 2\): \(\pm 1, \pm 2\)
Mögliche rationale Nullstellen: \(\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}\)
Probe: \(f(1) = 2 - 3 - 3 + 2 = -2 \neq 0\)
\(f(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0\) -- Treffer!
Division durch \((x + 1)\) liefert: \(2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)\)
Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = \frac{1}{2}\), \(x_3 = 2\)
Tipp: Beim Leitkoeffizienten \(a_n = 1\) müssen rationale Nullstellen ganzzahlig sein und \(a_0\) teilen. Probiere zuerst kleine Werte: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\)
Substitutionsmethode
Manche Polynome lassen sich durch Substitution auf quadratische Gleichungen zurückführen:
Gegeben: \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \)
Substitution: \( u = x^2 \)
\( u^2 - 5u + 4 = 0 \)
Lösungen: \( u_1 = 1, \, u_2 = 4 \)
Rücksubstitution: \( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) und \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)
Nullstellen: \( x \in \{-2, -1, 1, 2\} \)
Zusammenfassung
1. Ausklammern prüfen (\(x\) als Faktor?)
2. Substitution möglich? (biquadratisch?)
3. Rationale Nullstellen raten (Teiler von \(a_0\))
4. Polynomdivision / Horner-Schema durchführen
5. Restpolynom weiter faktorisieren
Übungen
Wie viele reelle Nullstellen hat \( f(x) = x^2 + 4 \)?
Was bedeutet eine doppelte Nullstelle graphisch?
Welche der folgenden Zahlen ist eine Nullstelle von \( f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6 \)?
Bestimme die Nullstellen von \( f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) durch Substitution.
Faktorisiere vollständig: \( f(x) = x^3 - 7x + 6 \)