Überblick
Der Logarithmus zur Basis \(b\) ist definiert als:
Definition des Logarithmus
\(\log_b(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad b^y = x\)
\(b > 0, b \neq 1, x > 0\)
Wichtige Logarithmen:
- \(\log_{10}(x) = \lg(x)\): Zehnerlogarithmus (Dekadischer Logarithmus)
- \(\log_e(x) = \ln(x)\): Natürlicher Logarithmus (Basis \(e \approx 2{,}718\))
- \(\log_2(x)\): Zweierlogarithmus (wichtig in der Informatik)
Eigenschaften
Jede Logarithmusfunktion \(f(x) = \log_b(x)\) hat folgende Eigenschaften:
- Definitionsmenge: \(D = (0, +\infty)\) – nur positive Argumente!
- Wertemenge: \(W = \mathbb{R}\)
- Nullstelle: \(\log_b(1) = 0\), da \(b^0 = 1\)
- Besonderer Wert: \(\log_b(b) = 1\), da \(b^1 = b\)
- Asymptote: Die y-Achse (\(x = 0\)) ist senkrechte Asymptote
Beispielwerte für \(\log_2(x)\)
| \(x\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\log_2(x)\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
Rechenregeln
Logarithmengesetze
\(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\)
\(\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\)
\(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\)
\(\log_b(b) = 1, \quad \log_b(1) = 0\)
\(\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)\)
\(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\)
\(\log_b(b) = 1, \quad \log_b(1) = 0\)
Übungen
Aufgabe 1Leicht
Welchen Wert hat \(\log_2(8)\)?
Aufgabe 2Leicht
Welchen Wert hat \(\log_{10}(1)\)?
Aufgabe 3Mittel
Was ist die Definitionsmenge von \(f(x) = \log_3(x)\)?
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