Das Grundprinzip

Zwei Funktionen \(f\) und \(g\) schneiden sich in einem Punkt \(S(x_s | y_s)\), wenn sie an der Stelle \(x_s\) denselben Funktionswert haben. Das bedeutet:

Schnittpunkte berechnen
\(f(x) = g(x)\)

Gleichsetzen, nach \(x\) auflösen, dann \(y\) berechnen: \(y_s = f(x_s)\)

Vorgehen in 3 Schritten:

  1. Funktionen gleichsetzen: \(f(x) = g(x)\)
  2. Gleichung nach \(x\) auflösen → \(x_s\)
  3. \(x_s\) in eine der beiden Funktionen einsetzen → \(y_s\)

Schnittpunkt zweier linearer Funktionen

Bei zwei Geraden \(f(x) = k_1 x + d_1\) und \(g(x) = k_2 x + d_2\) gibt es genau einen Schnittpunkt (sofern \(k_1 \neq k_2\)).

Beispiel: \(f(x) = 2x + 1\) und \(g(x) = -x + 7\)
1
Gleichsetzen: \(2x + 1 = -x + 7\)
2
\(3x = 6 \Rightarrow x_s = 2\)
3
\(y_s = f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5\)

Schnittpunkt: \(S(2|5)\)

Tipp: Setze den gefundenen \(x\)-Wert zur Kontrolle in beide Funktionen ein. Beide müssen denselben \(y\)-Wert ergeben!

Schnittpunkt linear & quadratisch

Beim Schnitt einer Geraden mit einer Parabel kann es 0, 1 oder 2 Schnittpunkte geben.

Beispiel: \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 2x + 3\)
1
Gleichsetzen: \(x^2 = 2x + 3\)
2
Umformen: \(x^2 - 2x - 3 = 0\)
3
Lösungsformel: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\)
4
\(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\)
5
\(y_1 = g(3) = 9\), \(y_2 = g(-1) = 1\)

Schnittpunkte: \(S_1(3|9)\) und \(S_2(-1|1)\)

Achtung: Wenn die Diskriminante negativ ist (\(\Delta < 0\)), gibt es keine Schnittpunkte -- die Gerade "verfehlt" die Parabel. Bei \(\Delta = 0\) berühren sich die Graphen in genau einem Punkt (Tangente).

Schnittpunkt zweier Parabeln

Auch zwei quadratische Funktionen können sich schneiden.

Beispiel: \(f(x) = x^2 + 1\) und \(g(x) = -x^2 + 5\)
1
Gleichsetzen: \(x^2 + 1 = -x^2 + 5\)
2
\(2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}\)
3
\(y = f(\sqrt{2}) = 2 + 1 = 3\)

Schnittpunkte: \(S_1(\sqrt{2}|3)\) und \(S_2(-\sqrt{2}|3)\)

Graphische Bedeutung

Graphisch sind Schnittpunkte die Punkte, in denen sich die beiden Kurven kreuzen. Links und rechts vom Schnittpunkt liegt jeweils eine der beiden Funktionen "oben" bzw. "unten".

Zusammenfassung:

  • Zwei verschiedene Geraden: höchstens 1 Schnittpunkt (0 bei parallelen Geraden)
  • Gerade und Parabel: 0, 1 oder 2 Schnittpunkte
  • Zwei Parabeln: 0, 1 oder 2 Schnittpunkte

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Wo schneiden sich \(f(x) = x + 2\) und \(g(x) = 3x - 4\)?

Aufgabe 2Mittel

Wie viele Schnittpunkte haben \(f(x) = 2x + 5\) und \(g(x) = 2x - 1\)?

Aufgabe 3Mittel

Wo schneiden sich \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 4\)?

Aufgabe 4Schwer

Berechne die Schnittpunkte von \(f(x) = x^2 - 2x\) und \(g(x) = x\). Welche \(x\)-Werte ergeben sich?

Aufgabe 5Schwer

Für welchen Wert von \(c\) berührt die Gerade \(g(x) = 2x + c\) die Parabel \(f(x) = x^2\) in genau einem Punkt?

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