Schlussrechnung (Dreisatz): direkt und indirekt, Beispiele, Übungen

Was eine Schlussrechnung ist

Bei einer Schlussrechnung sind drei Zahlen bekannt und eine vierte wird gesucht. Die Zahlen gehören zu zwei Größen, die zusammenhängen: Menge und Preis, Personen und Zeit, Strecke und Treibstoff. Man „schließt" von der bekannten Menge auf die Einheit und von der Einheit auf die gesuchte Menge. Daher der Name.

Der Lehrplan verlangt in der 2. Klasse, direkte und indirekte Proportionalitäten in Sachsituationen zu erkennen und mit ihnen zu rechnen. Genau das leistet die Schlussrechnung. Sie funktioniert aber nur, wenn die beiden Größen wirklich proportional sind.

Für Eltern, die in Deutschland zur Schule gegangen sind: Dort heißt das Verfahren Dreisatz, weil die Rechnung aus drei Zeilen (Sätzen) besteht. Die Rechnung ist dieselbe, nur das Wort ist anders. In österreichischen Schulbüchern wie „Mach mit Mathematik 2" (öbv) steht durchgehend „Schlussrechnung".

Direkte Schlussrechnung: je mehr, desto mehr

Zwei Größen sind direkt proportional, wenn das Doppelte der einen auch das Doppelte der anderen bedeutet, das Dreifache das Dreifache und so weiter. Mehr Erdäpfel kosten mehr Geld, mehr Kilometer brauchen mehr Benzin. Beim Schluss auf die Einheit wird dividiert, beim Schluss auf die gesuchte Menge multipliziert.

Beispiel 1: 5 kg Erdäpfel kosten 7,50 €. Was kosten 8 kg?

Bekanntes anschreiben: 5 kg kosten 7,50 €

Schluss auf die Einheit: 1 kg kostet \(7{,}50 : 5 = 1{,}50\) €

Schluss auf die gesuchte Menge: 8 kg kosten \(1{,}50 \cdot 8 = 12\) €

Probe mit dem Hausverstand: 8 kg sind mehr als 5 kg, also muss der Preis über 7,50 € liegen. 12 € passt. Wer das Ergebnis mit 4,69 € ausrechnet, hat die Richtung verwechselt.

Direkte Schlussrechnung in einer Zeile

\(x = \dfrac{7{,}50 \cdot 8}{5} = 12\)

Die Kurzform fasst beide Schritte zusammen: Der bekannte Preis wird mit der neuen Menge multipliziert und durch die alte Menge dividiert. Bei direkter Proportionalität bleibt der Quotient der beiden Größen gleich - hier 1,50 € pro Kilogramm, egal ob man 5 kg oder 8 kg kauft.

Indirekte Schlussrechnung: je mehr, desto weniger

Zwei Größen sind indirekt proportional, wenn das Doppelte der einen die Hälfte der anderen bedeutet. Doppelt so viele Maler brauchen halb so lang, doppelte Geschwindigkeit halbiert die Fahrzeit. Jetzt dreht sich die Rechnung um: Beim Schluss auf die Einheit wird multipliziert, beim Schluss auf die gesuchte Menge dividiert.

Beispiel 2: 4 Maler streichen ein Haus in 6 Tagen. Wie lange brauchen 3 Maler?

Bekanntes anschreiben: 4 Maler brauchen 6 Tage

Schluss auf die Einheit: 1 Maler braucht \(6 \cdot 4 = 24\) Tage (er muss die Arbeit aller vier allein machen)

Schluss auf die gesuchte Menge: 3 Maler brauchen \(24 : 3 = 8\) Tage

Probe: 3 Maler sind weniger als 4, also muss es länger dauern als 6 Tage. 8 Tage passt.

Indirekte Schlussrechnung in einer Zeile

\(x = \dfrac{6 \cdot 4}{3} = 8\)

Bei indirekter Proportionalität bleibt das Produkt der beiden Größen gleich: \(4 \cdot 6 = 24\) und \(3 \cdot 8 = 24\). Diese 24 sind die Gesamtarbeit in „Malertagen", und die ändert sich nicht, egal wie viele Leute anpacken.

Direkt oder indirekt? Der Verdoppelungstest

Vor jeder Schlussrechnung steht die Entscheidung, welche der beiden Arten vorliegt. Der sicherste Test: Was passiert mit der zweiten Größe, wenn ich die erste verdopple?

Situation	Erste Größe verdoppelt	Zweite Größe	Art
Erdäpfel und Preis	doppelt so viele kg	doppelter Preis	direkt
Fahrstrecke und Benzin	doppelt so weit	doppelt so viel Benzin	direkt
Arbeitsstunden und Lohn	doppelt so lang	doppelter Lohn	direkt
Maler und Arbeitszeit	doppelt so viele Maler	halbe Zeit	indirekt
Geschwindigkeit und Fahrzeit	doppelt so schnell	halbe Fahrzeit	indirekt
Kinder und Stück Kuchen pro Kind	doppelt so viele Kinder	halb so viele Stück pro Kind	indirekt

Nicht alles ist proportional. Ein Kind ist mit 4 Jahren 1 m groß - mit 12 Jahren ist es nicht 3 m groß. Wenn 3 Kinder je 3 Minuten Zähne putzen, brauchen 6 Kinder nicht 6 Minuten. Und wer 10 Packungen kauft, bekommt oft Mengenrabatt, dann ist der Preis nicht mehr proportional zur Menge. Die Schlussrechnung ist nur dann richtig, wenn die beiden Größen tatsächlich direkt oder indirekt proportional sind. Diese Frage gehört zur Aufgabe dazu - der Lehrplan verlangt ausdrücklich, Proportionalitäten zu begründen oder zu widerlegen.

Anschreiben wie im Schulheft

In österreichischen Schulbüchern wird die Schlussrechnung in zwei Spalten angeschrieben. Links steht die Menge, rechts die zugehörige zweite Größe, und die gesuchte Zahl heißt \(x\). Gleiche Einheiten stehen immer untereinander.

Beispiel 3: 3 Hefte kosten 2,70 €. Was kosten 7 Hefte?

3 Hefte ............ 2,70 €

1 Heft ............ \(2{,}70 : 3 = 0{,}90\) €

7 Hefte ............ \(0{,}90 \cdot 7 = 6{,}30\) €

Antwortsatz: 7 Hefte kosten 6,30 €.

Der Antwortsatz gehört dazu. Er enthält die Einheit und beantwortet die Frage aus der Angabe, nicht nur „x = 6,3". Bei einer indirekten Schlussrechnung sieht das Schema genauso aus, nur die Rechenzeichen in der zweiten und dritten Zeile sind vertauscht.

Wenn der Schluss auf die Einheit nicht glatt aufgeht

Oft ergibt der erste Schritt eine unendliche Dezimalzahl. Dann nicht zwischendurch runden, sondern mit dem Bruch weiterrechnen oder beide Schritte in einer Zeile zusammenfassen.

Beispiel 4: Für 12 Palatschinken braucht man 250 g Mehl. Wie viel für 20 Palatschinken?

Direkt proportional: mehr Palatschinken, mehr Mehl

Für 1 Palatschinke: \(250 : 12 = 20{,}8\overline{3}\) g - nicht runden, sondern als \(\frac{250}{12}\) stehen lassen

Für 20 Palatschinken: \(\dfrac{250 \cdot 20}{12} = \dfrac{5000}{12} = 416{,}\overline{6}\) g, also rund 417 g

Wer nach dem ersten Schritt auf 20,8 g rundet und dann mit 20 multipliziert, bekommt 416 g - ein Gramm zu wenig. Beim Backen ist das egal, bei einer Schularbeit nicht, und bei größeren Zahlen wird der Rundungsfehler schnell groß. Gerundet wird erst am Ende.

Beispiel 5: Mit 80 km/h dauert eine Fahrt 3 Stunden. Wie lange dauert sie mit 120 km/h?

Indirekt proportional: schneller fahren, kürzer unterwegs

Bei 1 km/h: \(3 \cdot 80 = 240\) Stunden (die Strecke ist 240 km lang, bei 1 km/h braucht man dafür 240 h)

Bei 120 km/h: \(240 : 120 = 2\) Stunden

Die 240 aus dem zweiten Schritt sind hier nicht nur eine Zwischenzahl, sondern die Streckenlänge in Kilometern. Bei indirekten Schlussrechnungen hat das Produkt fast immer eine Bedeutung: Gesamtstrecke, Gesamtarbeit, Gesamtmenge.

Die häufigsten Fehler

Richtung nicht geprüft: Bei den Malern wird dividiert statt multipliziert, und 3 Maler sind plötzlich in 4,5 Tagen fertig, schneller als 4 Maler. Der Verdoppelungstest vor der Rechnung verhindert das.
Einheiten vermischt: 2,5 kg und 300 g in einer Rechnung. Vorher in dieselbe Einheit umrechnen: 2.500 g und 300 g, oder 2,5 kg und 0,3 kg.
Spalten vertauscht: Wenn links einmal die Menge und einmal der Preis steht, ist die Rechnung nicht mehr lesbar. Gleiche Größen stehen untereinander.
Zu früh gerundet: 20,8 g statt \(\frac{250}{12}\) g - das Endergebnis stimmt dann nicht mehr genau.
Schlussrechnung, wo keine hingehört: Alter und Körpergröße, Lernzeit und Note, Preis mit Mengenrabatt. Hier liefert die Rechnung eine Zahl, die nichts bedeutet.
Kein Antwortsatz: „x = 12" ist kein Ergebnis. „8 kg Erdäpfel kosten 12 €" ist eines.