Goldener Schnitt: Definition, Zahl Phi, Berechnung und Konstruktion

Was der goldene Schnitt ist

Eine Strecke wird in zwei Teile geteilt: einen längeren Teil \(a\) (den Major) und einen kürzeren Teil \(b\) (den Minor). Die Teilung heißt goldener Schnitt, wenn zwei Verhältnisse gleich groß sind: das Verhältnis der ganzen Strecke zum längeren Teil und das Verhältnis des längeren Teils zum kürzeren.

Goldener Schnitt

\((a + b) : a = a : b\)

Die Strecke AB (10 cm) ist bei T im goldenen Schnitt geteilt: 10 : 6,18 = 6,18 : 3,82 = 1,618

Beide Verhältnisse haben denselben Wert, und dieser Wert ist immer gleich, egal wie lang die Strecke ist. Er bekommt einen eigenen Namen:

Die Zahl Phi

\(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}6180339\ldots\)

Die Zahl ist irrational: Weil \(\sqrt{5}\) unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode hat, hat auch \(\varphi\) welche. Im Alltag reicht 1,618, bei Konstruktionen meist 1,62.

Zwei Eigenschaften, die nur Phi hat

Rechnet man mit 1,618 weiter, fällt etwas auf:

Rechnung	Ergebnis	Bedeutung
\(\varphi^2 = 1{,}618 \cdot 1{,}618\)	\(2{,}618\)	Quadrieren ist dasselbe wie 1 addieren: \(\varphi^2 = \varphi + 1\)
\(1 : \varphi = 1 : 1{,}618\)	\(0{,}618\)	Der Kehrwert ist dasselbe wie 1 subtrahieren: \(\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1\)

Keine andere positive Zahl hat diese beiden Eigenschaften. Deshalb tauchen in Büchern zwei „goldene Zahlen" auf: 1,618 und 0,618. Es ist dieselbe Teilung, nur einmal von der ganzen Strecke aus gerechnet (das Ganze ist 1,618-mal so lang wie der Major) und einmal vom Major aus (der Major ist 0,618-mal so lang wie das Ganze).

Woher die Zahl kommt

Der Wert von \(\varphi\) lässt sich aus der Definition ausrechnen. Die Rechnung braucht eine quadratische Gleichung und gehört damit zur 5. Klasse - wer sie noch nicht kennt, kann den Abschnitt überspringen und einfach mit 1,618 weiterrechnen.

Herleitung von \(\varphi\) aus \((a + b) : a = a : b\)

Das gesuchte Verhältnis nennen wir \(x = \frac{a}{b}\). Die linke Seite lässt sich aufteilen: \(\frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{x}\)

Die Definition wird damit zu \(1 + \dfrac{1}{x} = x\)

Mit \(x\) multiplizieren: \(x + 1 = x^2\), also \(x^2 - x - 1 = 0\)

Große Lösungsformel mit \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -1\): \(x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618\) und \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0{,}618\). Ein Verhältnis von Streckenlängen ist positiv, also ist \(\varphi = x_1\).

Die Gleichung \(x^2 = x + 1\) aus Schritt 3 ist genau die erste Eigenschaft von oben, und die Form \(x = 1 + \frac{1}{x}\) aus Schritt 2 ist die zweite. Beide Eigenschaften sind also keine Zufälle, sondern die Definition selbst, nur anders angeschrieben. Die Lösungsformel wird auf der Seite Große Lösungsformel erklärt.

Eine Strecke im goldenen Schnitt teilen: rechnerisch

Ist die Gesamtlänge \(s\) gegeben, dann ist der Major \(a = s : \varphi\) und der Minor der Rest. Mit den gerundeten Faktoren: Major \(\approx 0{,}618 \cdot s\), Minor \(\approx 0{,}382 \cdot s\).

Beispiel: Eine 25 cm lange Leiste im goldenen Schnitt teilen

Major: \(25 : 1{,}618 = 15{,}45\) cm

Minor: \(25 - 15{,}45 = 9{,}55\) cm

Probe: \(15{,}45 : 9{,}55 = 1{,}618\) - stimmt mit \(25 : 15{,}45 = 1{,}618\) überein

Ein goldenes Rechteck hat Seiten im Verhältnis \(\varphi\). Bei 8 cm Breite ist es \(8 : 1{,}618 = 4{,}94\) cm hoch. Schneidet man von einem goldenen Rechteck das Quadrat über der kurzen Seite ab, bleibt wieder ein goldenes Rechteck übrig - beim 8 cm × 4,94 cm großen Rechteck ein Rest von 3,06 cm × 4,94 cm, und \(4{,}94 : 3{,}06 = 1{,}61\). Das lässt sich beliebig oft wiederholen; nur bei diesem einen Seitenverhältnis bleibt die Form jedes Mal erhalten.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Der goldene Schnitt lässt sich ohne Rechnen konstruieren, nur mit Zirkel und Lineal. Gegeben ist die Strecke AB; gesucht ist der Teilungspunkt T.

Konstruktionsschritte

In B die Normale auf AB errichten und darauf den Punkt C abtragen, sodass BC halb so lang ist wie AB.

A mit C verbinden.

Kreisbogen um C mit Radius CB: Er schneidet die Strecke AC im Punkt D.

Kreisbogen um A mit Radius AD: Er schneidet AB im Punkt T. T teilt AB im goldenen Schnitt, AT ist der Major.

Punkt D liegt auf AC, Punkt T auf AB. Der Abstand AT ist gleich AD.

Warum das funktioniert: Für AB = 1 ist BC = 0,5. Nach dem Satz des Pythagoras ist \(AC = \sqrt{1^2 + 0{,}5^2} = \sqrt{1{,}25} = 1{,}118\). Der Kreisbogen um C nimmt davon 0,5 weg: \(AD = 1{,}118 - 0{,}5 = 0{,}618\). Genau das ist \(\frac{1}{\varphi}\), also die Länge des Majors bei einer Strecke der Länge 1. Exakt gerechnet: \(AD = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\), und das ist \(\varphi - 1\).

Fünfeck und Fibonacci-Folge

Im regelmäßigen Fünfeck ist jede Diagonale genau \(\varphi\)-mal so lang wie eine Seite. Bei 5 cm Seitenlänge misst die Diagonale \(5 \cdot 1{,}618 = 8{,}09\) cm. Zeichnet man alle fünf Diagonalen ein, entsteht ein Pentagramm, und die Diagonalen schneiden einander wieder im goldenen Schnitt. Die Dreiecke, die dabei entstehen, haben die Winkel 36°, 72° und 72° und heißen goldene Dreiecke.

Die zweite Verbindung führt zur Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... Teilt man eine Fibonacci-Zahl durch ihre Vorgängerin, kommt man \(\varphi\) immer näher: \(89 : 55 = 1{,}61818\), und \(\varphi = 1{,}61803\). Der Unterschied beträgt nur noch 0,00015. Warum ausgerechnet \(\varphi\)? Weil jede Fibonacci-Zahl die Summe der beiden vorherigen ist, gilt für den Quotienten zweier Nachbarn

Fibonacci-Quotient

\(\dfrac{F_{n+1}}{F_n} = \dfrac{F_n + F_{n-1}}{F_n} = 1 + \dfrac{F_{n-1}}{F_n}\)

Wenn sich die Quotienten auf einen festen Wert \(x\) einpendeln, steht da \(x = 1 + \frac{1}{x}\) - dieselbe Gleichung wie in der Herleitung oben. Ihre positive Lösung ist \(\varphi\). Die Brüche 5 : 3, 8 : 5 und 13 : 8 sind deshalb die handlichsten Näherungen für den goldenen Schnitt; wer ein Foto im Verhältnis 8 : 5 zuschneidet, liegt bei 1,6 statt 1,618.

Wo der goldene Schnitt vorkommt - und wo nicht

Sicher belegt ist er überall dort, wo Mathematik dahintersteckt: im Fünfeck, im Pentagramm, bei den Fibonacci-Zahlen und bei den Spiralen aus Fibonacci-Zahlen, die sich in Sonnenblumen und Tannenzapfen zählen lassen.

Anders sieht es bei den bekannten Geschichten aus Kunst und Architektur aus. Dass der Parthenon in Athen oder die Mona Lisa nach dem goldenen Schnitt gebaut beziehungsweise gemalt seien, lässt sich nicht belegen: Es gibt keine Aufzeichnungen der Baumeister oder Maler dazu, und wer die Verhältnisse nachmisst, findet 1,618 nur, wenn er die Messlinien passend wählt. Der Mathematiker George Markowsky hat diese Behauptungen 1992 in der Fachzeitschrift „The College Mathematics Journal" systematisch geprüft und als unbelegt eingestuft. Auch das Gehäuse des Nautilus ist zwar eine Spirale, aber keine goldene.

Zwei Alltagsbeispiele zum Nachmessen: Eine Bankomatkarte ist 85,60 mm × 53,98 mm groß, das Verhältnis ist \(85{,}60 : 53{,}98 = 1{,}586\) - nahe am goldenen Schnitt, aber nicht gleich. Ein A4-Blatt (297 mm × 210 mm) hat das Verhältnis 1,414, das ist \(\sqrt{2}\). Das DIN-Format ist so gewählt, dass ein halbiertes Blatt wieder dasselbe Seitenverhältnis hat; beim goldenen Rechteck bleibt die Form dagegen beim Abschneiden eines Quadrats erhalten. Zwei verschiedene Ideen, zwei verschiedene Zahlen.

Häufige Verwechslungen

Phi und Pi: \(\varphi = 1{,}618\) ist das Teilungsverhältnis, \(\pi = 3{,}142\) das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser. Die Buchstaben sehen ähnlich aus, die Zahlen haben nichts miteinander zu tun.
1,618 oder 0,618: Beides ist richtig, je nachdem, ob man das Ganze durch den Major teilt (1,618) oder den Major durch das Ganze (0,618). Wer den Major berechnen will, dividiert die Gesamtlänge durch 1,618 oder multipliziert sie mit 0,618 - nicht mit 1,618.
„Goldener Schnitt = 2 : 3": 3 : 2 = 1,5 ist nur eine grobe Näherung. Besser ist 8 : 5 = 1,6 oder 13 : 8 = 1,625.
Jedes schöne Rechteck ist golden: Fernseher (16 : 9 = 1,78), A4 (1,41) und Bankomatkarten (1,59) sind es nicht. Ob ein Rechteck golden ist, zeigt nur das Nachmessen.
Zu früh gerundet: Mit 1,6 statt 1,618 ist der Major bei 25 cm um 0,2 cm zu lang. Für Konstruktionen mindestens 1,618 verwenden.