Winkel über 90° - Erklärung & Beispiele

Erweiterung über 90° hinaus

Am Einheitskreis wird der Winkel \(\alpha\) von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Damit können wir Sinus und Cosinus für jeden beliebigen Winkel definieren:

Stumpfe Winkel (90° < \(\alpha\) < 180°): Der Punkt liegt im II. Quadranten
Überstumpfe Winkel (180° < \(\alpha\) < 270°): Der Punkt liegt im III. Quadranten
Reflexwinkel (270° < \(\alpha\) < 360°): Der Punkt liegt im IV. Quadranten

Wichtig: Die Winkelfunktionen sind periodisch: \(\sin(\alpha + 360°) = \sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha + 360°) = \cos(\alpha)\). Nach einer vollen Umdrehung wiederholen sich die Werte.

Die ASTC-Regel (Vorzeichenregel)

Die ASTC-Regel sagt dir, welche Winkelfunktionen in welchem Quadranten positiv sind:

ASTC-Regel

All -- Sinus -- Tangens -- Cosinus

I: Alle positiv | II: nur Sinus positiv | III: nur Tangens positiv | IV: nur Cosinus positiv

Quadrant	Winkelbereich	\(\sin\)	\(\cos\)	\(\tan\)
I (A)	0° -- 90°	+	+	+
II (S)	90° -- 180°	+	−	−
III (T)	180° -- 270°	−	−	+
IV (C)	270° -- 360°	−	+	−

Eselsbrücke: „Alle Schüler trinken Cola" -- im I. Quadranten sind alle positiv, im II. nur der Sinus, im III. nur der Tangens, im IV. nur der Cosinus.

Referenzwinkel

Der Referenzwinkel \(\alpha'\) ist der spitze Winkel zwischen dem Strahl und der x-Achse. Er hilft, die Werte von sin und cos für große Winkel auf bekannte Werte zurückzuführen.

Referenzwinkel berechnen

I. Quadrant: \(\alpha' = \alpha\)
II. Quadrant: \(\alpha' = 180° - \alpha\)
III. Quadrant: \(\alpha' = \alpha - 180°\)
IV. Quadrant: \(\alpha' = 360° - \alpha\)

Der Betrag von \(\sin(\alpha)\) und \(\cos(\alpha)\) ist gleich dem von \(\sin(\alpha')\) bzw. \(\cos(\alpha')\). Das Vorzeichen ergibt sich aus dem Quadranten (ASTC-Regel).

Beispiele

Beispiel 1: sin(120°) und cos(120°)

Quadrant: 120° liegt im II. Quadranten (90° < 120° < 180°)

Referenzwinkel: \(\alpha' = 180° - 120° = 60°\)

Vorzeichen (ASTC): Im II. Quadranten: sin positiv, cos negativ

Ergebnis: \(\sin(120°) = +\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}\)

Beispiel 2: sin(210°) und cos(210°)

Quadrant: 210° liegt im III. Quadranten (180° < 210° < 270°)

Referenzwinkel: \(\alpha' = 210° - 180° = 30°\)

Vorzeichen (ASTC): Im III. Quadranten: sin negativ, cos negativ

Ergebnis: \(\sin(210°) = -\sin(30°) = -\frac{1}{2}\) und \(\cos(210°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Beispiel 3: sin(300°) und cos(300°)

Quadrant: 300° liegt im IV. Quadranten (270° < 300° < 360°)

Referenzwinkel: \(\alpha' = 360° - 300° = 60°\)

Vorzeichen (ASTC): Im IV. Quadranten: sin negativ, cos positiv

Ergebnis: \(\sin(300°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\cos(300°) = +\cos(60°) = \frac{1}{2}\)

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