Die Definition am Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung \((0|0)\) und Radius \(r = 1\). Ein Punkt \(P\) auf dem Einheitskreis wird durch den Winkel \(\alpha\) bestimmt, der von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird.
\(\cos(\alpha)\) = x-Koordinate von P, \(\sin(\alpha)\) = y-Koordinate von P
Warum stimmt das mit dem Dreieck überein? Im ersten Quadranten (0° bis 90°) bildet der Radius \(r = 1\) die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Ankathete (x-Koordinate) ist \(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{1}\) und die Gegenkathete (y-Koordinate) ist \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{1}\).
Die vier Quadranten
Der Einheitskreis wird in vier Quadranten unterteilt. Je nach Quadrant haben Sinus und Cosinus verschiedene Vorzeichen:
| Quadrant | Winkelbereich | \(\cos(\alpha)\) | \(\sin(\alpha)\) |
|---|---|---|---|
| I | 0° -- 90° | positiv (+) | positiv (+) |
| II | 90° -- 180° | negativ (−) | positiv (+) |
| III | 180° -- 270° | negativ (−) | negativ (−) |
| IV | 270° -- 360° | positiv (+) | negativ (−) |
Eselsbrücke: Im I. Quadranten sind beide positiv, dann wandert der Punkt nach links oben (cos wird negativ), weiter nach links unten (sin wird auch negativ) und schließlich nach rechts unten (cos wieder positiv, sin bleibt negativ).
Der trigonometrische Pythagoras
Da jeder Punkt auf dem Einheitskreis den Abstand 1 vom Ursprung hat, gilt nach dem Satz des Pythagoras:
Gilt für jeden beliebigen Winkel \(\alpha\)!
Diese Identität ist eine der wichtigsten Beziehungen der Trigonometrie. Sie erlaubt es, aus dem Sinuswert den Cosinuswert zu berechnen (und umgekehrt):
\(\sin(\alpha) = \pm\sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}\)
Das Vorzeichen ergibt sich aus dem Quadranten!
Gegeben: \(\sin(\alpha) = 0{,}6\) und \(\alpha\) liegt im I. Quadranten.
Werte für Standardwinkel
Diese Werte solltest du auswendig kennen:
| Winkel \(\alpha\) | \(\cos(\alpha)\) | \(\sin(\alpha)\) | Punkt auf Einheitskreis |
|---|---|---|---|
| 0° | \(1\) | \(0\) | \((1|0)\) |
| 30° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \((\frac{\sqrt{3}}{2}|\frac{1}{2})\) |
| 45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \((\frac{\sqrt{2}}{2}|\frac{\sqrt{2}}{2})\) |
| 60° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \((\frac{1}{2}|\frac{\sqrt{3}}{2})\) |
| 90° | \(0\) | \(1\) | \((0|1)\) |
| 180° | \(-1\) | \(0\) | \((-1|0)\) |
| 270° | \(0\) | \(-1\) | \((0|-1)\) |
| 360° | \(1\) | \(0\) | \((1|0)\) |
Merktrick für 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: Die Sinuswerte sind \(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\). Die Cosinuswerte sind dieselben, aber in umgekehrter Reihenfolge!
Übungen
Teste dein Wissen zu Sinus und Cosinus am Einheitskreis!
Am Einheitskreis ist \(\cos(\alpha)\) die ...
Welcher Punkt auf dem Einheitskreis gehört zum Winkel 90°?
Wie lautet der trigonometrische Pythagoras?
In welchem Quadranten ist \(\sin(\alpha) > 0\) und \(\cos(\alpha) < 0\)?
\(\sin(\alpha) = \frac{3}{5}\) und \(\alpha\) liegt im II. Quadranten. Was ist \(\cos(\alpha)\)?