Polarkoordinaten

Was Polarkoordinaten sind

Ein Punkt in der Ebene ist durch zwei Angaben festgelegt. Kartesisch sind das \(x\) und \(y\), die Abstände zu den beiden Achsen. Polar sind es

• der Abstand \(r\) vom Ursprung (\(r \geq 0\)) und
• der Winkel \(\varphi\), gemessen von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn, meist mit \(0° \leq \varphi < 360°\).

Der Einheitskreis ist der Sonderfall \(r = 1\): Jeder Punkt darauf hat die kartesischen Koordinaten \((\cos\varphi \mid \sin\varphi)\). Polarkoordinaten verallgemeinern das auf beliebige Abstände.

Von polar nach kartesisch

Im rechtwinkeligen Dreieck aus \(r\), \(x\) und \(y\) ist \(x\) die Ankathete und \(y\) die Gegenkathete des Winkels \(\varphi\). Daraus folgen die Umrechnungsformeln, und sie gelten dank der Definition am Einheitskreis für alle Winkel, nicht nur für spitze:

Bei \(\varphi = 270°\) und \(r = 3\) ergibt sich \(x = 3 \cdot \cos 270° = 0\) und \(y = 3 \cdot \sin 270° = -3\), der Punkt \((0 \mid -3)\) auf der negativen y-Achse. Die Vorzeichen der kartesischen Koordinaten kommen in dieser Richtung von selbst richtig heraus, weil Sinus und Cosinus am Einheitskreis in jedem Quadranten das passende Vorzeichen haben.

Von kartesisch nach polar

Der Abstand folgt aus dem Satz des Pythagoras, der Winkel aus dem Tangens:

Der Haken steckt im Tangens: Der Taschenrechner liefert für \(\arctan\) immer einen Winkel zwischen −90° und 90°, also nur für den ersten und vierten Quadranten. Welcher Quadrant wirklich gemeint ist, verraten die Vorzeichen von \(x\) und \(y\):

Liegt der Punkt auf einer Achse, ist der Tangens nicht definiert oder null, und der Winkel ergibt sich direkt: \((0 \mid 5)\) hat \(\varphi = 90°\), \((-5 \mid 0)\) hat \(\varphi = 180°\), \((0 \mid -3)\) hat \(\varphi = 270°\). Der Ursprung selbst hat \(r = 0\) und keinen bestimmten Winkel. Die Winkel über 90° und ihre Sinus- und Cosinuswerte sind unter Winkel über 90° erklärt.

Wo Polarkoordinaten vorkommen

• Vektoren: Ein Vektor ist durch Betrag und Richtung festgelegt, also durch \(r\) und \(\varphi\). Der Einheitsvektor in Richtung \(\varphi\) ist \((\cos\varphi \mid \sin\varphi)\), der Vektor mit Betrag \(r\) ist das \(r\)-Fache davon.
• Radar und Navigation: Ein Schiff wird mit „Entfernung 8 km, Richtung 120°" gemeldet, nicht mit x und y. In der Seefahrt zählt der Winkel allerdings von Norden im Uhrzeigersinn - eine andere Konvention als in der Mathematik.
• Drehbewegungen: Ein Punkt auf einem Riesenrad behält sein \(r\), nur \(\varphi\) ändert sich. In Polarkoordinaten ist das eine Zeile, in kartesischen zwei Winkelfunktionen.
• Komplexe Zahlen: In der 7. Klasse bekommt jede komplexe Zahl eine Polarform aus Betrag und Argument - dieselbe Idee mit anderen Namen.

Der Lehrplan der 5. Klasse nennt „Polarkoordinaten verwenden können" im Abschnitt Trigonometrie. Eine eigene Grundkompetenz für die Matura gibt es nicht; die zugrunde liegende Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis ist aber AG 4.2 und wird regelmäßig geprüft.

Die häufigsten Fehler

• Quadrant ignoriert: \(\arctan\frac{2}{-2} = -45°\) stehen lassen. Der Punkt \((-2 \mid 2)\) liegt bei 135°, nicht bei −45° (das wäre \((2 \mid -2)\)).
• Taschenrechner auf Bogenmaß: \(\cos 30°\) ist 0,866. Steht der Rechner auf RAD, kommt 0,154 heraus. Vor jeder Rechnung den Modus prüfen; das Bogenmaß ist eine eigene Einheit.
• Sinus und Cosinus vertauscht: \(x\) gehört zum Cosinus, \(y\) zum Sinus. Merkhilfe: Auf dem Einheitskreis ist der Cosinus die waagrechte Koordinate.
• Winkel von der y-Achse gemessen: In der Mathematik zählt \(\varphi\) von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Kompass und Seefahrt machen es anders.
• Negatives \(r\): Der Abstand ist nie negativ. Ein Minuszeichen gehört in den Winkel (180° dazu), nicht in \(r\).